Exercice 15

Exercice

Trace un carré. À l’aide uniquement de ta règle et de ton compas, construis un second carré dont l’aire vaut \(\frac{1}{9}\) de celle du carré initial, sans effectuer de mesures.

Réponse

Réponse courte : Pour obtenir un carré de 1/9 de l’aire du carré initial de côté s, divise l’un de ses côtés en trois segments égaux (sans mesurer) à l’aide du compas et de la règle. Le segment ainsi obtenu (longueur s/3) servira de côté au nouveau carré, dont l’aire est (s/3)² = s²/9.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée pour construire un carré dont l’aire est égale à \(\frac{1}{9}\) de celle du carré initial. L’idée principale est la suivante : si le côté du carré initial est \(s\), alors son aire est \(s^2\). Pour obtenir une aire égale à \(\frac{1}{9}s^2\), le côté du nouveau carré doit valoir

\[ \sqrt{\frac{1}{9}s^2} = \frac{s}{3}. \]

Il faut donc construire un segment de longueur \(\frac{1}{3}\) du côté du carré initial sans mesurer directement.

Nous allons utiliser une méthode classique de partage d’un segment en trois parties égales à l’aide d’un compas et d’une règle.

Étape 1 : Construction du carré initial

Trace un carré \(ABCD\) en utilisant ta règle et ton compas. Tu as ainsi un carré dont chaque côté a une longueur \(s\).

Étape 2 : Division d’un côté en trois segments égaux

Nous allons diviser le côté \(AB\) en trois parties égales afin d’en extraire une longueur égale à \(\frac{s}{3}\).

Choix du côté :
Considère le côté \(AB\) du carré.
Tracé d’une demi-droite oblique :
À partir du point \(A\), trace une demi-droite \(AX\) qui ne soit pas parallèle à \(AB\). La direction peut être choisie arbitrairement (par exemple, vers l’intérieur du carré ou à l’exterieur).
Marquage de trois segments égaux sur la demi-droite :
- Avec le compas, choisis une ouverture quelconque (sans mesurer la longueur du côté \(AB\) !) et place la pointe sèche sur \(A\).
- Trace un arc qui coupe \(AX\) en un point, appelle-le \(A_1\).
- Sans changer l’ouverture du compas, fais de même à partir de \(A_1\) pour obtenir \(A_2\), puis encore à partir de \(A_2\) pour obtenir \(A_3\).
  Ainsi, tu as \(AA_1 = A_1A_2 = A_2A_3\).
Connexion pour obtenir une division parallèle :
- Relie le point \(A_3\) au point \(B\) avec une droite.
- À l’aide de la règle, trace deux droites parallèles à la droite \(A_3B\) passant respectivement par \(A_1\) et \(A_2\). Pour tracer ces parallèles, on peut utiliser la construction de droites parallèles (technique standard à l’aide du compas et de la règle).
- Ces droites parallèles coupent le segment \(AB\) en deux points, notés \(C\) et \(D\) (par exemple, \(C\) entre \(A\) et \(D\), et \(D\) entre \(C\) et \(B\)).
Conclusion de la division :
Les points \(A\), \(C\), \(D\) et \(B\) divisent \(AB\) en trois segments égaux. Ainsi, \(AC = CD = DB = \frac{s}{3}\).

Étape 3 : Construction du second carré

Utilisation du segment obtenu :
Choisis le segment \(AC\) de longueur \(\frac{s}{3}\).
Construction du carré :
- À partir du segment \(AC\), utilise ta règle et ton compas pour construire un angle droit en \(A\).
- Trace ensuite le second côté de la future figure en utilisant le compas pour recopier la longueur \(AC\).
- Continue la construction en traçant successivement les trois autres côtés à l’aide de l’outil de la construction du carré (en veillant à obtenir des angles droits).
Vérification de l’aire :
Le carré ainsi construit a pour côté \(\frac{s}{3}\) et pour aire \[ \left(\frac{s}{3}\right)^2 = \frac{s^2}{9}, \] ce qui correspond bien à \(\frac{1}{9}\) de l’aire du carré initial.

Récapitulatif

Nous avons commencé par tracer un carré \(ABCD\).
Ensuite, nous avons divisé le côté \(AB\) en trois parties égales à l’aide d’une construction avec compas et règle.
En prenant la longueur d’un de ces segments égal à \(\frac{s}{3}\), nous avons construit un nouveau carré.
Ce nouveau carré a pour aire \(\frac{1}{9}\) de celle du carré initial, puisque son côté est \(\frac{s}{3}\).

Cette construction résout l’exercice en utilisant uniquement la règle et le compas, sans effectuer de mesures directes.

J’espère que cette correction détaillée est claire et t’aide à comprendre chacune des étapes de la construction géométrique.