Exercice
Tracez un segment \(BE\) de \(3\,\text{cm}\).
Le segment \(BE\) est la médiane issue du sommet de l’angle droit du triangle rectangle isocèle \(BCD\).
Construisez le triangle \(BCD\).
Tracer le segment BE de 3 cm, puis le cercle de centre E et de rayon 3 cm. En passant par B, tracer la perpendiculaire à BE qui coupe ce cercle en C et D. Relier B à C et D pour obtenir l’angle droit en B, et relier C à D pour obtenir l’hypoténuse de 6 cm (E en est le milieu).
Voici une correction détaillée permettant de construire le triangle demandé.
On vous demande de procéder en deux temps :
On rappelle que dans un triangle rectangle, la médiane qui part du
sommet de l’angle droit (ici le point \(B\)) a une propriété particulière :
\[
\text{La médiane du sommet de l'angle droit vaut la moitié de
l'hypoténuse.}
\] Ici, comme \(BE =
3\,\text{cm}\), on en déduit que l’hypoténuse \(CD\) mesure : \[
CD = 2 \times BE = 2\times 3\,\text{cm} = 6\,\text{cm}.
\]
De plus, le triangle est isocèle. Dans un triangle rectangle isocèle, les deux côtés formant l’angle droit sont de même longueur.
Dans le triangle \(BCD\) : - Le sommet \(B\) est l’angle droit (et le point de départ de la médiane). - Les points \(C\) et \(D\), qui doivent être situés sur le cercle de centre \(E\), se trouvent de part et d’autre du point \(B\) de telle manière que la droite \(CD\) ait pour milieu \(E\).
Pour localiser ces deux points, il faut utiliser la propriété
suivante :
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire passant
par son milieu.
Ici, sachant que \(BE\) est donné et que \(E\) est le centre du cercle, nous allons procéder ainsi :
À partir du point \(B\), tracez une droite
perpendiculaire au segment \(BE\).
(Cette construction se fait en utilisant, par exemple, la méthode de la
construction d’une perpendiculaire au moyen du compas ou de
l’équerre.)
Cette droite perpendiculaire coupée avec le cercle (de centre
\(E\) et de rayon \(3\,\text{cm}\)) donnera deux points
d’intersection.
Choisissez ces deux points et notez-les \(C\) et \(D\).
Reliez le point \(B\) à chacun
des points \(C\) et \(D\) en traçant les segments \(BC\) et \(BD\).
Le triangle formé à \(B\) est rectangle
puisque la droite en \(B\) est
perpendiculaire à \(BE\).
Finalement, reliez les points \(C\) et \(D\) par un segment. Ce segment est
l’hypoténuse \(CD\).
Son milieu est \(E\) et, d’après la
propriété vue, il mesure \(6\,\text{cm}\).
Médiane : Par construction, \(BE\) (de \(3\,\text{cm}\)) part du sommet \(B\) et coupe \(CD\) en son milieu \(E\).
Triangle rectangle : L’angle en \(B\) est de \(90^\circ\) puisque la droite passant par \(B\) a été tracée perpendiculairement à \(BE\).
Triangle isocèle : Puisque le triangle est rectangle isocèle, les deux côtés \(BC\) et \(BD\) sont de même longueur (ce qui est le cas ici, car ils sont tous deux des rayons du cercle de centre \(E\)).
Tracer le segment \(BE\) de \(3\,\text{cm}\) avec \(B\) comme sommet de l’angle droit et \(E\) comme point sur la médiane.
Avec \(E\) comme centre et un rayon de \(3\,\text{cm}\), tracer le cercle qui passe par \(B\).
En \(B\),
tracer la droite perpendiculaire à \(BE\).
Cette droite intersecte le cercle en deux points que l’on note \(C\) et \(D\).
Tracer les segments \(BC\) et \(BD\) pour former l’angle droit en \(B\).
Relier \(C\) à \(D\) pour former l’hypoténuse \(CD\) de \(6\,\text{cm}\) dont \(E\) est le milieu.
En suivant ces étapes, vous obtenez le triangle rectangle isocèle \(BCD\) construit conformément à l’énoncé, avec \(BE\) comme médiane issue du sommet de l’angle droit.