Exercice
Construisez précisément chacune des figures et décrivez la procédure utilisée.
Dans un parallélogramme, les diagonales mesurent respectivement \(10\,\text{cm}\) et \(6\,\text{cm}\) et forment un angle de \(45^\circ\).
Dans un parallélogramme, les hauteurs mesurent respectivement \(3\,\text{cm}\) et \(6\,\text{cm}\). Un de ses côtés mesure \(8\,\text{cm}\).
Réponse a) : On trace à partir d’un point O les segments de 5 cm et 3 cm formant un angle de 45° pour obtenir, par symétrie, les sommets d’un parallélogramme dont les diagonales mesurent 10 cm et 6 cm.
Réponse b) : En prenant la base de 8 cm associée à une hauteur de 3 cm, l’aire est 24 cm². Le côté adjacent est alors 24⁄6 = 4 cm et l’angle entre les côtés vérifie sin θ = 0,75 (θ ≈ 48,6°).
Voici la correction détaillée en plusieurs étapes, avec des explications claires pour réaliser les constructions demandées.
Énoncé :
Dans un parallélogramme, les diagonales mesurent respectivement
\[
d_1 = 10\,\text{cm} \quad \text{et} \quad d_2 = 6\,\text{cm},
\]
et elles se coupent en formant un angle de \(45^\circ\).
Remarques préliminaires :
Dans tout parallélogramme, les deux diagonales se coupent en leur
milieu. Ainsi, si l’on note \(O\) le
point d’intersection, alors : - \(OA = OC =
\dfrac{10}{2} = 5\,\text{cm}\) - \(OB =
OD = \dfrac{6}{2} = 3\,\text{cm}\)
L’angle de \(45^\circ\) est alors celui formé entre l’un des demi-diagonales (par exemple \(OA\)) et l’autre (\(OB\)). La figure de départ sera construite à partir de ce point d’intersection et de ces segments.
Énoncé :
Dans un parallélogramme, les hauteurs mesurent
\[
h_1 = 3\,\text{cm} \quad \text{et} \quad h_2 = 6\,\text{cm}.
\]
Un de ses côtés est de longueur \(8\,\text{cm}\).
Réflexion préalable :
Un parallélogramme possède deux côtés consécutifs (que nous noterons \(AB\) et \(AD\)) et leurs hauteurs associées. La hauteur relative à un côté est la distance perpendiculaire entre ce côté et le côté opposé.
Pour déterminer la construction, nous allons utiliser la notion
d’aire. En effet :
- L’aire d’un parallélogramme se calcule avec un côté et sa hauteur
correspondante.
- Si on choisit le côté de \(8\,\text{cm}\) pour être celui auquel
correspond la plus petite hauteur (ici \(3\,\text{cm}\)) alors :
\[
\text{Aire} = 8 \times 3 = 24\,\text{cm}^2.
\] - Pour l’autre côté, noté \(AD\), la hauteur correspondante est \(6\,\text{cm}\). Or, l’aire s’exprime aussi
par : \[
\text{Aire} = \text{longueur de }AD \times 6.
\] D’où : \[
AD = \frac{24}{6} = 4\,\text{cm}.
\]
De plus, on sait que pour un parallélogramme, si l’on note l’angle entre les côtés \(AB\) et \(AD\) par \(\theta\), alors l’aire se calcule aussi par : \[ \text{Aire} = AB \times AD \times \sin\theta. \] On a donc : \[ 8 \times 4 \times \sin\theta = 24 \quad \Longrightarrow \quad 32 \sin\theta = 24 \quad \Longrightarrow \quad \sin\theta = \frac{24}{32} = 0,75. \] Ainsi, \[ \theta = \arcsin(0,75) \quad (\text{environ } 48,6^\circ). \]
Ainsi, vous obtenez un parallélogramme de base \(8\,\text{cm}\), d’autre côté \(4\,\text{cm}\), avec un angle aigu d’environ \(48,6^\circ\), et dont l’aire est \(24\,\text{cm}^2\).
Pour la partie a) :
La construction part de l’intersection des diagonales. On trace deux
segments de 5 cm et 3 cm (respectivement, pour les demi-diagonales) à
partir d’un point \(O\) en formant un
angle de \(45^\circ\). En reportant
symétriquement ces segments, on obtient les quatre sommets du
parallélogramme.
Pour la partie b) :
On part du côté de \(8\,\text{cm}\)
auquel correspond l’altitude de \(3\,\text{cm}\) afin d’obtenir une aire de
\(24\,\text{cm}^2\). Le second côté se
calcule ensuite par la formule \(\text{longueur} = \frac{\text{aire}}{\text{hauteur
correspondante}} = \frac{24}{6} = 4\,\text{cm}\). L’angle à
l’intersection des côtés est déterminé par \(\sin\theta = \frac{24}{8 \times 4} =
0,75\).
Ces procédures permettent de construire précisément les figures demandées en respectant les dimensions et les conditions de l’énoncé.