Exercice 12

Question : Exercice :

Construis un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure \(8\,\mathrm{cm}\) et l’un des côtés de l’angle droit mesure \(4\,\mathrm{cm}\).

Réponse

Triangle rectangle ABC : • AB = 8 cm (hypoténuse) et AC = 4 cm. • Par le théorème de Pythagore, BC = 4√3 cm. • Construction : tracer AB, dessiner le cercle de diamètre AB, puis l’arc de centre A de rayon 4 cm qui coupe ce cercle pour placer C. Relier C à A et à B.

Corrigé détaillé

Nous allons construire un triangle rectangle \(ABC\) dont l’hypoténuse \(\overline{AB}\) mesure \(8\,\mathrm{cm}\) et l’un des côtés de l’angle droit (nous prendrons ici \(\overline{AC}\)) mesure \(4\,\mathrm{cm}\). Le triangle sera rectangle en \(C\) (puisque l’angle droit se trouve à l’opposé de l’hypoténuse).

Voici la démarche détaillée :

1. Calcul de la longueur du deuxième côté de l’angle droit

On connaît : - \(\overline{AB} = 8\,\mathrm{cm}\) (l’hypoténuse) - Un côté de l’angle droit \(\overline{AC} = 4\,\mathrm{cm}\)

D’après le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle (dont le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit), on a : \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

En remplaçant par les valeurs connues, on obtient : \[ 8^2 = 4^2 + BC^2 \] \[ 64 = 16 + BC^2 \]

Pour trouver \(BC\), on soustrait \(16\) des deux côtés : \[ BC^2 = 64 - 16 = 48 \]

Ensuite, on calcule \(BC\) en prenant la racine carrée : \[ BC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm} \]

2. Construction géométrique du triangle

Nous souhaitons construire le triangle rectangle \(ABC\) de la manière suivante :

Étape 1 : Tracer l’hypoténuse

Tracez un segment \(\overline{AB}\) de \(8\,\mathrm{cm}\). Ce segment représentera l’hypoténuse du triangle.

Étape 2 : Utiliser le cercle de Thalès pour obtenir un angle droit

Tracez le cercle de diamètre \(\overline{AB}\). D’après un théorème de la géométrie, tout point \(C\) situé sur ce cercle (autre que \(A\) et \(B\)) forme avec \(A\) et \(B\) un triangle rectangle en \(C\).

Étape 3 : Déterminer le point \(C\) tel que \(\overline{AC}\) mesure \(4\,\mathrm{cm}\)

Avec l’aide d’un compas, prenez \(A\) comme centre et ouvrez le compas à \(4\,\mathrm{cm}\).
Tracez un arc de cercle de centre \(A\) et de rayon \(4\,\mathrm{cm}\).
Ce cercle (ou arc) coupera (au moins) le demi-cercle (issu du cercle de diamètre \(\overline{AB}\)) en un point \(C\).

Étape 4 : Finaliser la construction

Marquez le point d’intersection obtenu comme \(C\).
Reliez ensuite \(C\) aux points \(A\) et \(B\) avec des segments. Le triangle \(ABC\) ainsi formé est rectangle en \(C\) et possède les dimensions :
- \(\overline{AC}=4\,\mathrm{cm}\)
- \(\overline{BC}=4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\)
- \(\overline{AB}=8\,\mathrm{cm}\)

3. Vérification

Pour vérifier que le triangle est bien rectangle en \(C\), on peut refaire le calcul de Pythagore : \[ AC^2 + BC^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16 + 16 \times 3 = 16 + 48 = 64 = AB^2 \] La vérification confirme que la construction est correcte.

Conclusion

Nous avons donc construit un triangle rectangle \(ABC\) en procédant de la manière suivante :

Tracer le segment \(\overline{AB}\) de \(8\,\mathrm{cm}\).
Dessiner le cercle de diamètre \(\overline{AB}\) pour utiliser le théorème garantissant que tout triangle inscrit dans ce cercle est rectangle en \(C\).
À partir de \(A\), tracer un arc de cercle de rayon \(4\,\mathrm{cm}\) qui intersecte le cercle de diamètre \(\overline{AB}\) en \(C\).
Relier \(C\) à \(A\) et \(B\) afin d’obtenir le triangle rouge, rectangle en \(C\), avec \(\overline{AC} = 4\,\mathrm{cm}\) et \(\overline{BC}=4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}\).

Cette construction répond ainsi exactement aux conditions de l’exercice.