Exercice 11

Construisez un triangle isocèle dont la base mesure \(8\,\mathrm{cm}\) et les deux côtés égaux mesurent \(5\,\mathrm{cm}\). Tracez la médiane issue du sommet opposé à la base, la hauteur provenant de l’un des angles à la base, et la bissectrice passant par l’autre angle de la base. Vérifiez si votre construction est identique à celle de vos camarades.

Réponse

Réponse très courte :

On trace d’abord le segment AB de 8 cm, puis deux arcs de cercle de 5 cm centrés en A et B pour obtenir le point C et construire le triangle isocèle (AC = BC = 5 cm). Ensuite, on trouve le milieu M de AB pour tracer la médiane CM, on trace la perpendiculaire à BC depuis A pour obtenir la hauteur, et enfin on construit la bissectrice de l’angle en B en utilisant des arcs de cercle.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée expliquant comment construire le triangle et ses éléments demandés étape par étape.

1. Construction du triangle isocèle

Nous voulons construire un triangle \(ABC\) tel que la base \([AB]\) mesure \(8\,\mathrm{cm}\) et les côtés égaux \(AC\) et \(BC\) mesurent chacun \(5\,\mathrm{cm}\).

Tracer la base
- À l’aide d’une règle, tracez un segment \([AB]\) de \(8\,\mathrm{cm}\).
Tracé des cercles pour déterminer le sommet \(C\)
- Avec un compas, placez la pointe sèche en \(A\) et ouvrez-le à \(5\,\mathrm{cm}\). Tracez un arc de cercle de centre \(A\).
- De même, placez la pointe sèche en \(B\) et tracez un deuxième arc de cercle de rayon \(5\,\mathrm{cm}\).
- Intersection des arcs : Ces deux arcs se coupent en un ou deux points. Choisissez l’un des points d’intersection et nommez-le \(C\). Ce point est le sommet opposé à la base.
Relier le sommet à la base
- Reliez \(C\) à \(A\) et \(C\) à \(B\) à l’aide d’une règle pour obtenir les côtés \(AC\) et \(BC\).

Le triangle \(ABC\) ainsi tracé est isocèle (puisque \(AC = BC = 5\,\mathrm{cm}\)).

2. Construction de la médiane issue du sommet opposé à la base

La médiane part du sommet \(C\) et va au milieu de la base \([AB]\).

Déterminer le milieu de \([AB]\)
- À l’aide d’une règle ou d’un compas, localisez le point \(M\) tel que \(AM = MB = 4\,\mathrm{cm}\).
Tracer la médiane
- Reliez \(C\) à \(M\) en traçant le segment \(CM\).

Remarque : Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet \(C\) est aussi la hauteur et la bissectrice de l’angle au sommet. Cependant, ici nous ne devons tracer que la médiane.

3. Construction de la hauteur provenant de l’un des angles à la base

Nous allons construire la hauteur issue d’un des angles de la base. Choisissons, par exemple, l’angle en \(A\).

Tracer la perpendiculaire à la droite opposée à l’angle
- La hauteur issue d’un angle est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Ici, on souhaite tracer la droite perpendiculaire à la droite \((BC)\) passant par \(A\).
Méthode pour construire la perpendiculaire depuis \(A\) à \((BC)\) :
- Placez la pointe du compas en \(A\) et tracez un arc qui coupe la droite \((BC)\) en deux points, notons-les \(D\) et \(E\).
- Sans modifier l’ouverture du compas, placez la pointe en \(D\) et tracez un arc. Répétez l’opération en plaçant la pointe en \(E\) et tracez un second arc de même ouverture.
- Les deux arcs s’intersecteront en un point, noté \(F\).
- Reliez \(A\) et \(F\) avec une règle; la droite \(AF\) est la perpendiculaire à \((BC)\) passant par \(A\).
Définir le pied de la hauteur
- La hauteur est le segment perpendiculaire allant de \(A\) à \((BC)\). Le point d’intersection entre la droite \(AF\) et le côté \(BC\) est le pied de la hauteur, que nous noterons \(H\).

4. Construction de la bissectrice passant par l’autre angle de la base

Nous allons maintenant tracer la bissectrice de l’angle \(B\).

Procédure pour tracer la bissectrice de l’angle \(B\) :
- Placez la pointe du compas en \(B\) et choisissez une ouverture quelconque pour tracer un arc qui coupe les deux côtés de l’angle, c’est-à-dire \((BA)\) et \((BC)\).
- Soit \(P\) le point d’intersection de cet arc avec \((BA)\) et \(Q\) celui avec \((BC)\).
Mesurer une distance égale sur les deux côtés
- À partir de \(P\), avec le même rayon, tracez un arc à l’intérieur de l’angle.
- Répétez la même opération à partir de \(Q\) en utilisant le même rayon pour obtenir un deuxième point d’intersection, notons-le \(R\).
Tracer la bissectrice
- Reliez \(B\) et \(R\) avec une règle. La droite \(BR\) est la bissectrice de l’angle en \(B\); elle divise l’angle \(\angle ABC\) en deux angles égaux.

5. Vérification de la construction

Une fois toutes les constructions réalisées (le triangle, la médiane \(CM\), la hauteur \(AH\) et la bissectrice \(BR\)), comparez votre dessin avec celui de vos camarades.
Vérifiez notamment que :

Le triangle a bien une base de \(8\,\mathrm{cm}\) et deux côtés de \(5\,\mathrm{cm}\).
Le point \(M\) est le milieu de \([AB]\) et que la droite \(CM\) relie \(C\) à \(M\).
La hauteur issue de \(A\) est perpendiculaire au côté \((BC)\).
La bissectrice de l’angle \(B\) divise précisément cet angle en deux parties égales.

Si toutes ces vérifications sont conformes, votre construction est correcte et comparable à celles de vos camarades.

Cette correction vous guide pas à pas pour réaliser la construction géométrique demandée. Assurez-vous de suivre chaque étape avec soin pour obtenir un résultat précis et conforme aux instructions.