Exercice 10
Tracez un triangle et, en traçant ses bissectrices et ses
médiatrices, construisez son cercle inscrit ainsi que son cercle
circonscrit.
Dans quelle situation le centre du cercle inscrit coïncide-t-il avec
celui du cercle circonscrit ?
Réponse
Le centre du cercle inscrit et du cercle circonscrit coïncide
uniquement dans un triangle équilatéral.
Corrigé détaillé
Voici une correction détaillée en plusieurs étapes :
1. Construction du
triangle et de ses éléments
a) Tracer le triangle
- Dessinez un triangle quelconque, par exemple \(\triangle ABC\).
b)
Construction des médiatrices et du cercle circonscrit
- Médiatrices : Pour chaque côté du triangle, tracez
la médiatrice, c’est-à-dire la droite perpendiculaire au côté passant
par son milieu.
- Pour le côté \(AB\), trouvez son
milieu et tracez une droite perpendiculaire à \(AB\).
- Répétez l’opération pour les côtés \(BC\) et \(CA\).
- Centre du cercle circonscrit :
Les médiatrices se coupent en un point, appelé
circumcentre.
Ce point est équidistant des trois sommets du triangle.
Avec ce point, tracez un cercle de rayon égal à la distance du point aux
sommets.
Ce cercle est le cercle circonscrit.
c)
Construction des bissectrices et du cercle inscrit
- Bissectrices : Pour chaque angle du triangle,
tracez la bissectrice, c’est-à-dire la droite qui divise l’angle en deux
parties égales.
- Pour l’angle en \(A\), tracez sa
bissectrice.
- Répétez pour les angles en \(B\) et
\(C\).
- Centre du cercle inscrit :
Les bissectrices se rencontrent en un point appelé
incentre.
Ce point est équidistant des trois côtés du triangle.
Tracez alors un segment perpendiculaire depuis l’incentre jusqu’à l’un
des côtés pour mesurer la distance minimale, qui sera le rayon.
Avec ce rayon et l’incentre, dessinez un cercle qui touche chacun des
côtés du triangle.
Ce cercle est le cercle inscrit.
2.
Analyse de la question : Quand les centres coïncident-ils ?
- Dans un triangle quelconque, le circumcentre (intersection des
médiatrices) et l’incentre (intersection des bissectrices) sont
généralement différents.
- Ils coïncident seulement dans un triangle où toutes les
longueurs et tous les angles sont égaux.
Pourquoi l’unique cas d’égalité
?
- Dans un triangle équilatéral :
- Les côtés sont égaux et, par conséquent, les angles
sont égaux.
- Ainsi, chaque médiatrice est également une bissectrice et (par
ailleurs) une médiane.
- Ce recoupement implique que le circumcentre et l’incentre sont
représentés par le même point.
En résumé, le centre du cercle inscrit coïncide avec celui du
cercle circonscrit uniquement dans un triangle équilatéral.
Conclusion
Pour résumer la démarche : 1. On construit le triangle \(\triangle ABC\). 2. On trace les
médiatrices des côtés pour obtenir le circumcentre et ainsi le cercle
circonscrit. 3. On trace les bissectrices des angles pour obtenir
l’incentre et ainsi le cercle inscrit. 4. On constate que ces deux
centres ne coïncident que si le triangle est équilatéral.
La réponse à la question est donc :
\[
\boxed{\text{Le centre des deux cercles coïncide uniquement dans un
triangle équilatéral.}}
\]
Cette construction et explication permettent de voir clairement
pourquoi la symétrie propre à l’équilatéral est nécessaire pour que les
deux centres soient confondus.