Exercice 9

Tracez un triangle équilatéral.

Construisez un point équidistant de chacun des côtés.
Soit un point tel que, depuis sa position, il est toujours possible d’atteindre un côté du triangle par un déplacement d’une longueur inférieure ou égale à \(2\,\mathrm{cm}\). Où se trouve-t-il ?

Réponse

Le point équidistant des côtés est l’incentre (le centre du cercle inscrit).
Un point vérifie la condition s’il se trouve dans la zone du triangle à moins de 2 cm d’un côté (et si le rayon du cercle inscrit est supérieur à 2 cm, ce sont uniquement les points proches du bord; sinon, tous les points conviennent).

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée en plusieurs étapes pour répondre à la question posée.

Énoncé

On demande de :

Tracer un triangle équilatéral.
1. Construire un point équidistant de chacun des côtés du triangle.
1. Déterminer où se trouve, dans le triangle, un point tel que, depuis sa position, il est toujours possible d’atteindre un côté en se déplaçant de \(2\,\mathrm{cm}\) ou moins.

Construction et explications

1. Construction d’un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur. Pour le construire, on peut procéder ainsi :

Étape 1 : Choisir un segment \(AB\) de la longueur souhaitée.
Étape 2 : À l’aide d’un compas réglé sur la longueur \(AB\), tracer un arc de cercle de centre \(A\).
Étape 3 : Répéter avec un compas de même ouverture avec centre \(B\) et tracer un second arc.
Étape 4 : Ces deux arcs se coupent en un point \(C\). Relier alors \(A\) à \(C\) et \(B\) à \(C\).

Ainsi, on obtient le triangle \(ABC\) équilatéral.

2. Partie a) Le point équidistant de chacun des côtés

Objectif

Trouver un point qui se trouve à la même distance de chacun des trois côtés du triangle.

Explication

Dans tout triangle, le point inscrit (ou incentre) est le point qui est à distance égale de chacun des côtés. Dans un triangle équilatéral, ce point a plusieurs propriétés particulières (il est aussi le centre des médiatrices, des bissectrices, et des hauteurs). Pour le construire :

Étape 1 : Tracer la bissectrice de l’angle en \(A\). Pour cela, placez la pointe sèche du compas au point \(A\) et réalisez deux arcs qui coupent les côtés \(AB\) et \(AC\). À partir de ces intersections, tracez un nouvel arc qui se croise dans l’intérieur du triangle.
Étape 2 : Répéter la construction avec l’angle en \(B\) ou \(C\).
Étape 3 : L’intersection des deux bissectrices est l’incentre du triangle.

On obtient ainsi le point \(I\) qui est équidistant de chaque côté. (En effet, la distance \(d(I, AB) = d(I, BC) = d(I, AC)\).) Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

3. Partie b) Point accessible à une distance de \(2\,\mathrm{cm}\) d’un côté

Énoncé et interprétation

On considère un point \(P\) dans le triangle tel que, depuis sa position, il est toujours possible d’atteindre au moins un côté du triangle par un déplacement de longueur inférieure ou égale à \(2\,\mathrm{cm}\).

Autrement dit, la distance minimale entre \(P\) et le bord (un des côtés) doit être inférieure ou égale à \(2\,\mathrm{cm}\). La question revient donc à déterminer dans quelle région se trouvent les points du triangle qui vérifient :

\[ d(P, \text{le côté le plus proche}) \le 2\,\mathrm{cm}. \]

Raisonnement

Pour tout point \(P\) du triangle, on définit sa distance à un côté comme la longueur du segment perpendiculaire traîné depuis \(P\) jusqu’à ce côté.
Le point qui est le plus éloigné de tous les côtés est, dans tout triangle, le point inscrit (l’incentre). En effet, pour ce point, la distance à chacun des côtés est la même et vaut le rayon du cercle inscrit, noté \(r\).
Ainsi, si l’on connaît le rayon \(r\) du cercle inscrit, on remarque que :
- Si \(r\) est inférieur ou égal à \(2\,\mathrm{cm}\), alors tout point du triangle est à \(2\,\mathrm{cm}\) ou moins d’un côté. En effet, le point le plus éloigné des côtés (l’incentre) est à moins de \(2\,\mathrm{cm}\), donc n’importe quel autre point sera encore plus proche d’un bord.
- Si \(r\) est supérieur à \(2\,\mathrm{cm}\), alors certains points (notamment ceux proches de l’incentre) se trouvent à plus de \(2\,\mathrm{cm}\) de tout côté. Pour satisfaire la condition, le point \(P\) doit se situer dans la partie du triangle où la distance au côté le plus proche est inférieure ou égale à \(2\,\mathrm{cm}\).
Géométriquement, la région constituée de tous les points du triangle vérifiant \(d(P,\text{côté}) \le 2\,\mathrm{cm}\) se forme de la manière suivante :
- On trace, sur chaque côté du triangle, une zone (une bande) parallèle au côté et d’une largeur de \(2\,\mathrm{cm}\) à l’intérieur du triangle.
- Le point \(P\) doit appartenir à l’union de ces trois bandes.

Conclusion

Le point qui satisfait la condition de la partie b) se trouve dans l’ensemble des points du triangle qui sont situés à une distance d’au plus \(2\,\mathrm{cm}\) de l’un de ses côtés.
- Si le triangle a une taille relativement petite (par exemple, si le côté du triangle est tel que son cercle inscrit a un rayon inférieur ou égal à \(2\,\mathrm{cm}\)), alors tout point du triangle satisfait la propriété. - Si le triangle est plus grand, alors seuls les points proches du bord, c’est-à-dire appartenant à l’une des bandes (zones proches des côtés d’une largeur \(2\,\mathrm{cm}\)), vérifient la condition.

Remarques complémentaires

Dans un triangle équilatéral, le point équidistant des côtés (l’incentre) est unique et se trouve automatiquement au centre du cercle inscrit.
La construction géométrique permet de visualiser clairement la zone « accessible » en traçant des lignes parallèles aux côtés à \(2\,\mathrm{cm}\) de distance.

Récapitulatif de la réponse

a) Le point équidistant de chacun des côtés est l’incentre du triangle, que l’on construit en traçant les bissectrices des angles.
b) Le point cherché est un point à l’intérieur du triangle qui satisfait la condition que sa distance minimale jusqu’à l’un des côtés est inférieure ou égale à \(2\,\mathrm{cm}\). Géométriquement, il doit se trouver dans la zone du triangle qui est à \(2\,\mathrm{cm}\) (ou moins) d’un de ses côtés.
- Si le cercle inscrit du triangle a un rayon inférieur ou égal à \(2\,\mathrm{cm}\), alors tous les points du triangle possèdent cette propriété.
- Sinon, seuls les points situés près du bord, c’est-à-dire dans les trois bandes de largeur \(2\,\mathrm{cm}\) le long des côtés, satisfont la condition.

Cette démarche détaillée permet de comprendre comment répondre aux deux parties de l’exercice et de visualiser la solution géométrique dans un triangle équilatéral.