Exercice 8

Exercice

Construisez un triangle dont les côtés mesurent \(7\), \(9\) et \(11\,\text{cm}\).

Tracez l’orthocentre, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et le centre du cercle inscrit du triangle.

Euler a montré que trois de ces points sont alignés. Indiquez lesquels.

Réponse

L’orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice.

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1. Construction d’un triangle de côtés 7 cm, 9 cm et 11 cm

Étape 1 : Choisir et tracer un segment

• Tracez d’abord un segment [AB] de \(11\,\text{cm}\).
  Ce segment servira de base pour votre triangle.

Étape 2 : Utiliser le compas pour positionner le troisième sommet

• Placez la pointe sèche du compas en A et ouvrez-le à \(7\,\text{cm}\).
  Tracez un arc de cercle autour de A.
• Placez la pointe sèche du compas en B et ouvrez-le à \(9\,\text{cm}\).
  Tracez un arc de cercle autour de B.
• L’intersection des deux arcs correspond au point C tel que
  \[ AC = 7\,\text{cm} \quad \text{et} \quad BC = 9\,\text{cm}. \]
• Placez le point C à cette intersection et reliez-le aux points A et B pour former le triangle \(ABC\).

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2. Construction des centres du triangle

Pour obtenir les différents centres, on utilise des propriétés géométriques classiques du triangle.

a) Centre du cercle circonscrit (circumcentre)

• Construction :
  Tracez la médiatrice du segment \([AB]\). Pour cela, placez le compas sur A, ouvrez-le d’une longueur supérieure à la moitié de \(AB\) et tracez un arc de cercle. Répétez depuis B pour obtenir une deuxième courbe.
  Les deux arcs se coupent en un point : le centre du cercle circonscrit.
• Rappel : Le cercle circonscrit passe par tous les sommets du triangle.

b) Centre de gravité (centroïde)

• Construction :
  Tracez les médianes du triangle. Par exemple, la médiane depuis A se trouve en reliant A au milieu de \([BC]\). Répétez pour au moins une autre médiane.
• Propriété : Le point d’intersection des médianes est le centre de gravité \(G\) du triangle.
  Ce point divise chaque médiane dans un rapport \(2:1\) (la partie la plus longue se situe entre le sommet et \(G\)).

c) Orthocentre

• Construction :
  Tracez la hauteur issue du sommet A (la droite perpendiculaire à la droite passant par B et C).
  Tracez ensuite la hauteur issue du sommet B (la droite perpendiculaire à la droite passant par A et C).
  
• Résultat : Le point d’intersection des deux hauteurs est l’orthocentre \(H\) du triangle.

d) Centre du cercle inscrit (incentre)

• Construction :
  Tracez l’angle en A et la bissectrice de l’angle.
  Répétez la construction pour un autre angle (par exemple en B).
  
• Résultat : Le point d’intersection des deux bissectrices est le centre du cercle inscrit \(I\).
  Le cercle inscrit est tangent aux trois côtés du triangle.

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3. Alignement selon Euler

Dans tout triangle qui n’est pas particulier (c’est-à-dire ni équilatéral, ni isocèle), une propriété appelée la ligne d’Euler existe. Euler a démontré que :

• L’orthocentre \(H\),
• Le centre du cercle circonscrit (circumcentre) \(O\), et
• Le centre de gravité \(G\)

sont alignés sur une même droite, appelée la ligne d’Euler.

Remarque importante :
Le centre du cercle inscrit \(I\) ne se trouve généralement pas sur cette droite sauf dans des cas très particuliers (par exemple dans un triangle équilatéral où tous ces points coïncident).

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Conclusion

Pour résumer la construction et les propriétés : 1. Vous construit un triangle \(ABC\) à l’aide de la règle et du compas en utilisant les mesures données. 2. Vous tracez ensuite : - La médiatrice de \([AB]\) pour trouver le centre du cercle circonscrit \(O\). - Les médianes pour trouver le centre de gravité \(G\). - Les hauteurs pour trouver l’orthocentre \(H\). - Les bissectrices pour trouver le centre du cercle inscrit \(I\). 3. Enfin, Euler a montré que l’orthocentre \(H\), le centre du cercle circonscrit \(O\), et le centre de gravité \(G\) sont alignés sur la célèbre ligne d’Euler.

Ainsi, la réponse à la question « Euler a montré que trois de ces points sont alignés. Indiquez lesquels. » est :

\[ \boxed{\text{l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité}} \]

Cette correction explique étape par étape la construction du triangle et la localisation de chacun de ces points remarquables ainsi que l’alignement particulier démontré par Euler.