Exercice 7

À l’aide d’une règle et d’un compas, construisez un triangle équilatéral. Décrivez votre démarche.
Avec votre règle et votre compas, construisez un carré. Expliquez votre méthode.
En utilisant la règle, le compas et le rapporteur, construisez un heptagone régulier.

Réponse

Triangle équilatéral : tracer un segment AB, puis deux arcs de centre A et B de rayon AB pour trouver C, et relier A, B et C.
Carré : tracer un côté AB, construire une perpendiculaire en A pour reporter la longueur AB afin d’obtenir un second sommet, puis utiliser des arcs pour déterminer les deux autres sommets et relier le tout.
Heptagone régulier : tracer un cercle, diviser l’angle total de 360° en 7 parties égales (environ 51,43° chacune), relever successivement sept points sur le cercle et les relier.

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée pour chacune des constructions demandées.

1. Construction d’un triangle équilatéral

Matériel : règle et compas

Étapes :

Tracer le segment de base :
- Choisissez un point \(A\).
- À l’aide de la règle, tracez un segment \(AB\) de longueur arbitraire. Cette longueur servira de côté à votre triangle.
Tracer le premier arc :
- Placez la pointe sèche du compas sur le point \(A\) et ouvrez-le à la longueur \(AB\).
- Tracez un arc de cercle centré en \(A\).
Tracer le deuxième arc :
- Placetez maintenant la pointe sèche sur le point \(B\) sans changer l’ouverture du compas (la distance reste \(AB\)).
- Tracez un second arc de cercle centré en \(B\).
Ces deux arcs se coupent en un point que vous appellerez \(C\).
Relier les points :
- À l’aide de la règle, tracez les segments \(AC\) et \(BC\).

Le triangle \(ABC\) est alors équilatéral puisqu’il possède trois côtés de même longueur (\(AB = AC = BC\)).

2. Construction d’un carré

Matériel : règle et compas

Étapes :

Tracer le côté de base :
- Choisissez deux points \(A\) et \(B\) et tracez un segment \(AB\). Ce segment sera un côté du carré.
Ériger une perpendiculaire en \(A\) :
Pour obtenir un angle droit en \(A\) :
- Placez la pointe sèche du compas sur \(A\) et ouvrez-le à la longueur \(AB\). Tracez un arc qui croise le segment \(AB\) (juste près de \(A\)).
- Sans modifier l’ouverture, placez la pointe sur \(B\) et tracez un arc de cercle avec le même rayon.
- Ces deux arcs se coupent, par exemple en \(D\).
- Tracez la droite passant par \(A\) et \(D\). Cette droite est perpendiculaire à \(AB\) en \(A\).
Déterminer le deuxième côté du carré :
- Mesurez la distance \(AB\) avec le compas.
- À partir de \(A\) sur la droite perpendiculaire obtenue, reportez cette distance pour placer un point \(D\) tel que \(AD = AB\).
Localiser le quatrième sommet :
- Placez la pointe du compas sur \(D\) et ouvrez-le à la longueur \(AD\) (qui est égale à \(AB\)).
- Avec le compas centré en \(D\), tracez un arc.
- Placez maintenant la pointe du compas sur \(B\) et, avec la même ouverture, tracez un autre arc.
L’intersection de ces deux arcs détermine le point \(C\).
Relier les sommets :
- Tracez les segments \(BC\) et \(CD\) à l’aide de la règle pour relier le point \(C\) aux points \(B\) et \(D\).

Le quadrilatère \(ABCD\) est un carré, car tous ses côtés sont égaux (\(AB = BC = CD = AD\)) et les angles en \(A\) et \(B\) sont droits.

3. Construction d’un heptagone régulier

Matériel : règle, compas et rapporteur

Remarque importante : Le terme “régulier” signifie que tous les côtés et tous les angles intérieurs sont égaux. Dans un heptagone, le centre divise le cercle en 7 arcs égaux.

Étapes :

Tracer un cercle :
- À l’aide du compas, placez la pointe sèche en un point \(O\) que vous choisirez comme centre.
- Tracez un cercle de rayon quelconque.
Mesurer l’angle central :
- Le cercle complet fait \(360^\circ\). Divisez \(360^\circ\) par 7 pour obtenir l’angle central correspondant à chaque tranche de cercle :
  \[ \theta = \frac{360^\circ}{7} \approx 51,43^\circ. \]
- Avec le rapporteur, mesurez un angle de \(\theta\) degrés à partir d’un point de départ sur le cercle.
Marquer les sommets :
- Choisissez un point \(A\) sur le cercle.
- Placez le centre du rapporteur en \(O\) et alignez son zéro avec le segment \(OA\).
- Tracez une petite marque sur le cercle en mesurant \(\theta\) degrés à partir de \(A\); ce point sera \(B\).
- Répétez l’opération depuis \(B\) pour trouver le point \(C\), puis continuez ainsi jusqu’à obtenir sept points \(A, B, C, D, E, F\) et \(G\) placés successivement sur le cercle.
Relier les points :
- À l’aide de la règle, tracez les segments joignant les points consécutifs \(A\) à \(B\), \(B\) à \(C\), …, \(G\) à \(A\).

Le polygone obtenu est un heptagone régulier car :
- Tous les sommets reposent sur le cercle.
- Chaque angle central entre deux rayons consécutifs est égal à \(\theta\).
- Par conséquent, tous les côtés du polygone, qui sont des cordes du cercle, ont la même longueur.

Ces constructions utilisent la géométrie de manière logique, en respectant les propriétés géométriques de chaque figure (égalité des côtés et des angles) et les outils classiques de géométrie.