Exercice 5

Exercice

1. À l’aide uniquement de votre règle et de votre compas, construisez un angle de \(30^\circ\). Indiquez les étapes de votre construction.

2. En utilisant la même méthode, construisez des angles de \(120^\circ\), \(210^\circ\) et \(300^\circ\).

Réponse

Réponse très courte :

1. Pour obtenir un angle de 30°, construisez un triangle équilatéral (angle de 60°) puis bissectez un de ses angles.
   
2. Pour 120°, placez deux angles de 60° côte à côte ; pour 210°, ajoutez 30° à une droite (180°) ; pour 300°, soustrayez 60° d’un tour complet (360°).

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée qui vous montre, étape par étape, comment réaliser ces constructions à l’aide d’une règle et d’un compas.

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Partie (a) : Construction d’un angle de \(30^\circ\)

Pour construire un angle de \(30^\circ\), nous allons d’abord construire un triangle équilatéral (dont tous les angles mesurent \(60^\circ\)) puis couper l’un de ces angles en deux pour obtenir \(30^\circ\).

1. Tracer un segment initial :

   • Tracez un segment \([OA]\) de longueur quelconque. Le point \(O\) sera le sommet de l’angle que vous souhaitez construire.

2. Tracer le premier arc :

   • Placez la pointe sèche du compas en \(O\) et ouvrez-le à la longueur du segment \(OA\).
     
   • Tracez un arc de cercle qui part de \(O\).

3. Définir un second point sur l’arc :

   • Choisissez un point \(B\) sur cet arc (autrement dit, un point distinct de \(A\) puisque \(A\) est sur la droite issue de \(O\)).

4. Tracer le second arc pour former le triangle équilatéral :

   • Sans modifier l’ouverture du compas (qui reste égale à la longueur \(OA\)), placez maintenant la pointe sèche en \(A\) et tracez un arc de cercle qui intersecte l’arc tracé depuis \(O\).
     
   • Notez le point d’intersection et nommez-le \(C\).

5. Constituer le triangle équilatéral :

   • Reliez les points \(A\) et \(C\) à l’aide de la règle.
     
   • Le triangle \(OAC\) est équilatéral car \(|OA| = |AC| = |OC|\).
     
   • Il en résulte que \(\angle O = 60^\circ\).

6. Bissection de l’angle de \(60^\circ\) :
   Afin d’obtenir un angle de \(30^\circ\), on va diviser l’angle de \(60^\circ\) en deux parties égales. Voici comment faire :

   1. Placez la pointe sèche du compas en \(O\) et réglez une ouverture (celle-ci peut être n’importe quelle longueur raisonnable, mais elle doit être moins longue que \(OA\)) de manière à ce que vous puissiez tracer un petit arc traversant les deux côtés \(OA\) et \(OC\) de l’angle.
      
   • Tracez cet arc qui coupe \(OA\) en un point que vous nommerez \(D\) et qui coupe \(OC\) en un point que vous nommerez \(E\).
   2. Avec le compas, sans changer l’ouverture, placez la pointe sèche en \(D\) et tracez un petit arc à l’intérieur de l’angle.
      
   • Ensuite, sans modifier l’ouverture, placez la pointe sèche en \(E\) et tracez un autre petit arc qui croise le premier à l’intérieur de l’angle.
     
   • Notez le point d’intersection des deux petits arcs et nommez-le \(F\).

7. Tracer le bissecteur :

   • Tracez la droite passant par \(O\) et \(F\) à l’aide de la règle.
     
   • Cette droite est le bissecteur de l’angle \(\angle AOC\) et divise le \(60^\circ\) en deux angles égaux de \(30^\circ\).

8. Conclusion de la construction :

   • Ainsi, l’angle \(\angle AOF\) mesure \(30^\circ\).

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Partie (b) : Construction des angles de \(120^\circ\), \(210^\circ\) et \(300^\circ\)

Pour construire ces angles, nous allons utiliser la méthode de construction des angles connus en reliant plusieurs angles obtenus par les constructions précédentes.

1. Construction d’un angle de \(120^\circ\)

On peut remarquer que
\[ 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ. \] Pour obtenir \(120^\circ\), nous pouvons procéder comme suit :

1. Construire un angle de \(60^\circ\) :
   • Réalisez la construction d’un triangle équilatéral comme dans la partie (a) pour obtenir un angle de \(60^\circ\) au sommet \(O\).
2. Construire un second angle de \(60^\circ\) adjacent :
   • Recommencez une construction semblable en partant du côté extrémité du premier angle.
     
   • Pour cela, considérez le côté \(OC\) (ou \(OA\), selon votre schéma) et tracez un nouvel arc avec \(C\) comme centre et de même rayon que le côté concerné.
     
   • Déterminez un point \(D\) de sorte que le triangle correspondant soit également équilatéral, ce qui apporte un angle de \(60^\circ\) supplémentaire à côté du premier.
3. Mesurer l’angle total :
   • L’angle formé par la somme des deux angles adjacents est \(60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\).

2. Construction d’un angle de \(210^\circ\)

On remarque que
\[ 210^\circ = 180^\circ + 30^\circ. \] Pour construire cet angle :

1. Tracer une demi-droite (angle plat) :
   • À partir d’un point \(O\), tracez une demi-droite qui représente une ligne droite, formant ainsi un angle de \(180^\circ\) avec elle-même (les deux directions opposées sur la même ligne).
2. Ajouter un angle de \(30^\circ\) :
   • À partir du même point \(O\) et en utilisant la construction de l’angle de \(30^\circ\) (voir partie (a)), construisez un angle de \(30^\circ\) par rapport à l’horizontale (ou la demi-droite que vous venez de tracer) du côté désiré.
     
   • Le côté de cet angle se trouvant à l’intérieur de l’angle obtient ainsi un angle total mesurant
     \[ 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ. \]

3. Construction d’un angle de \(300^\circ\)

On peut exprimer
\[ 300^\circ = 360^\circ - 60^\circ. \] Pour construire cet angle :

1. Tracer le cercle complet ou une rotation totale :
   • Partant d’un point \(O\), imaginez que vous avez une rotation complète (une circonférence) formant \(360^\circ\).
2. Retirer un angle de \(60^\circ\) :
   • Construisez un angle de \(60^\circ\) à l’aide de la construction du triangle équilatéral décrite précédemment.
     
   • Placez cet angle de \(60^\circ\) dans le sens inverse de la rotation complète (c’est-à-dire, sur le côté opposé) de façon à « soustraire » cet angle de la rotation totale.
     
   • Ainsi, l’angle restant, en partant d’un repère initial, est de
     \[ 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ. \]

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Récapitulatif des méthodes

• Pour obtenir un angle de \(30^\circ\), nous utilisons le bissecteur d’un angle de \(60^\circ\) issu d’un triangle équilatéral.
• Pour \(120^\circ\), on combine deux angles de \(60^\circ\) l’un à côté de l’autre.
• Pour \(210^\circ\), on part d’un angle plat (\(180^\circ\)) et on y ajoute un angle de \(30^\circ\).
• Pour \(300^\circ\), on part d’une rotation complète (\(360^\circ\)) et on « soustrait » un angle de \(60^\circ\).

Chaque construction peut se réaliser en utilisant uniquement une règle (pour tracer des droites) et un compas (pour tracer des arcs et repérer des intersections).

Cette méthode vous permettra d’obtenir les angles demandés de manière précise et rigoureuse en suivant les étapes de construction géométrique.