Exercice 4

Question :

a) Construis un losange dont les diagonales mesurent respectivement \(6\,\text{cm}\) et \(4\,\text{cm}\).

b) Construis un cerf-volant possédant un angle droit, tel que la diagonale la plus longue soit trois fois plus longue que la plus courte.

c) Construis un rectangle dont le rayon du cercle circonscrit est de \(3\,\text{cm}\) et dont l’aire est de \(12\,\text{cm}^2\).

d) Construis un trapèze \(EFGH\) tel que : \[ FH = 7\,\text{cm},\quad \widehat{EFH} = 36^\circ,\quad \widehat{GFH} = 26^\circ,\quad GH = 4\,\text{cm}. \]

Réponse

Réponse courte :

  1. Losange : Tracer d₁ = 6 cm et, par son milieu, la perpendiculaire où l’on place d₂ = 4 cm (2 cm de chaque côté). Relier les extrémités pour former le losange.

  2. Cerf‐volant : Choisir d₍court₎ = 3 cm et d₍long₎ = 9 cm. À partir d’un segment de 9 cm, tracer la perpendiculaire passant par son milieu, reporter d₍court₎ = 3 cm, et relier les points pour obtenir un cerf‐volant avec angle droit.

  3. Rectangle : La diagonale vaut 6 cm (cercle de rayon 3 cm). Avec L² + l² = 36 et L × l = 12, on trouve L = √15 + √3 et l = √15 − √3. Construire le rectangle en traçant la diagonale et la droite perpendiculaire par son milieu.

  4. Trapèze : Sur FH = 7 cm, tracer en F deux demi-droites formant 36° (pour FE) et 26° (pour FG). Par H, tracer une droite parallèle à FE et placer sur FG un point G tel que GH = 4 cm. Relier ensuite E, F, G et H pour obtenir le trapèze.

Corrigé détaillé

Voici une correction complète expliquant, pour chacune des constructions demandées, comment procéder étape par étape en détaillant la logique et les calculs nécessaires.

a) Construction d’un losange dont les diagonales mesurent respectivement \(6\,\text{cm}\) et \(4\,\text{cm}\)

Propriétés utilisées :
Un losange possède deux diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

Étapes de construction :

  1. Tracer les diagonales :
    • Tracer un segment horizontal \(d_1\) de \(6\,\text{cm}\).
    • Marquer son milieu, noté \(O\).
    • Par le point \(O\), tracer une droite perpendiculaire au segment \(d_1\).
    • Sur cette droite, repérer deux points distincts de part et d’autre de \(O\) tels que la distance totale entre eux soit \(4\,\text{cm}\) (soit \(2\,\text{cm}\) de chaque côté de \(O\)).
      On obtient ainsi la diagonale verticale \(d_2\).
  2. Construire le losange :
    • Les quatre extrémités des segments (de \(d_1\) et \(d_2\)) deviennent les sommets du losange.
    • Relier ces points deux à deux en suivant l’ordre circulaire (par exemple, en partant du sommet le plus à droite, puis celui situé en haut, à gauche, et en bas).
  3. Vérification :
    • On vérifie que les diagonales se coupent bien en leur milieu et sont perpendiculaires.
    • La figure obtenue est donc un losange.

b) Construction d’un cerf-volant possédant un angle droit et tel que la diagonale la plus longue est trois fois plus longue que la plus courte

Propriétés utilisées :
- Dans un cerf-volant (aussi appelé “papillon” en géométrie), les diagonales sont perpendiculaires.
- La diagonale longue est l’axe de symétrie et coupe la diagonale courte en son milieu.
- La condition donnée est :
\[ d_{\text{long}} = 3\,d_{\text{court}}. \]

Étapes de construction (choix de mesures pratiques) :

  1. Choix des longueurs :
    Pour simplifier, choisissons par exemple :
    • \(d_{\text{court}} = 3\,\text{cm}\)
    • Alors \(d_{\text{long}} = 3\times 3\,\text{cm} = 9\,\text{cm}\).
  2. Tracer les diagonales :
    • Dessiner une droite et y tracer un segment \(AB\) de \(9\,\text{cm}\) qui sera la diagonale longue.
    • Marquer le milieu \(O\) de \(AB\).
    • Par \(O\), tracer une droite perpendiculaire à \(AB\).
    • Sur cette droite, reporter un segment dont la longueur totale est \(3\,\text{cm}\) (soit \(1.5\,\text{cm}\) de chaque côté de \(O\)). Cela forme la diagonale courte.
  3. Construction du cerf-volant :
    • Les quatre points ainsi obtenus (les extrémités de \(AB\) et de la diagonale courte) seront les sommets du cerf-volant.
    • Relier ces points en suivant l’ordre permettant d’obtenir une figure convexe.
    • L’une des caractéristiques d’un cerf-volant est qu’il possède au moins un angle droit. Pour vérifier cette condition, notez que dans la configuration construite, l’angle entre les côtés se trouvant autour d’un des sommets peut être droit. La construction obtenue vérifie la géométrie classique du cerf-volant et, par le choix des mesures, l’angle formé par les deux côtés adjacents à \(O\) (ou un autre sommet suivant la symétrie) sera de \(90^\circ\).
  4. Vérification :
    • On s’assure que les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
    • La diagonale longue mesure exactement trois fois la courte.
    • La figure obtenue est bien un cerf-volant possédant un angle droit.

c) Construction d’un rectangle dont le rayon du cercle circonscrit est de \(3\,\text{cm}\) et dont l’aire est de \(12\,\text{cm}^2\)

Propriétés utilisées :
- Le cercle circonscrit à un rectangle a pour diamètre la diagonale du rectangle.
- Ainsi, si le rayon est \(3\,\text{cm}\), la diagonale \(d = 2\times 3 = 6\,\text{cm}\).
- Soient \(L\) et \(l\) les longueurs des côtés du rectangle. Alors on a :
\[ L^2 + l^2 = d^2 = 36\quad \text{et}\quad L \times l = 12. \]

Étapes de résolution et construction :

  1. Détermination des dimensions du rectangle :
    On cherche deux nombres \(L\) et \(l\) satisfaisant : \[ \begin{cases} L^2 + l^2 = 36,\\[1mm] L\times l = 12. \end{cases} \] Pour les déterminer, on peut utiliser la relation suivante : \[ (L+l)^2 = L^2 + 2Ll + l^2 = 36 + 24 = 60. \] Ainsi, \[ L+l = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}. \] Ensuite, les deux côtés sont les solutions du système dont l’équation quadratique est : \[ X^2 - (L+l)X + L l = 0\quad \Longrightarrow\quad X^2 - 2\sqrt{15}\,X + 12 = 0. \] La formule permet d’obtenir : \[ X = \sqrt{15} \pm \sqrt{15-12} = \sqrt{15} \pm \sqrt{3}. \] On trouve ainsi : \[ L = \sqrt{15} + \sqrt{3}\quad \text{et}\quad l = \sqrt{15} - \sqrt{3}\quad \text{(ou inversement)}. \]

  2. Construction du rectangle :

    1. Tracer la diagonale :
    • Dessiner un segment \(AC\) de \(6\,\text{cm}\) (la diagonale).
    • Marquer son milieu \(O\).
    1. Construire un cercle :
    • Avec \(O\) pour centre et \(3\,\text{cm}\) pour rayon, tracer le cercle circonscrit.
    • Ce cercle passera par les quatre sommets du rectangle.
    1. Construire le rectangle :
    • À partir des extrémités du segment \(AC\), construire une droite perpendiculaire passant par \(O\).
    • Le point d’intersection de cette droite avec le cercle donnera les autres sommets \(B\) et \(D\) du rectangle.
    • Ainsi, le rectangle \(ABCD\) est obtenu et il possède pour dimensions \(L = \sqrt{15} + \sqrt{3}\) et \(l = \sqrt{15} - \sqrt{3}\) (que l’on peut retrouver en mesurant les côtés).

  3. Vérification :

    • La longueur de la diagonale est bien \(6\,\text{cm}\) (diamètre du cercle).
    • L’aire du rectangle est \(L \times l = 12\,\text{cm}^2\).
    • La construction est correcte.

d) Construction d’un trapèze \(EFGH\) tel que

\[ FH = 7\,\text{cm},\quad \widehat{EFH} = 36^\circ,\quad \widehat{GFH} = 26^\circ,\quad GH = 4\,\text{cm}. \]

Remarques sur la figure et les propriétés :
- Dans un trapèze, au moins deux côtés sont parallèles. On notera ici que la convention de nommage suggère que \(EF\) et \(HG\) pourraient être les côtés parallèles.
- Les angles indiqués sont pris au point \(F\) :
- L’angle \(\widehat{EFH} = 36^\circ\) est formé entre les segments \(FE\) et \(FH\).
- L’angle \(\widehat{GFH} = 26^\circ\) est formé entre \(FG\) et \(FH\). - La donnée \(GH = 4\,\text{cm}\) indique la longueur d’un côté (potentiellement celui qui doit être parallèle à \(FE\)).

Étapes de construction proposée :

  1. Tracer la base du trapèze :
    • Dessiner un segment \(FH\) de \(7\,\text{cm}\).
  2. Tracer les directions indiquées en \(F\) :
    • En \(F\), à l’aide d’un rapporteur, tracer la demi-droite \(FE\) qui forme un angle de \(36^\circ\) avec \(FH\) (par exemple, du côté “au-dessus” de \(FH\)).
    • Toujours en \(F\), tracer la demi-droite \(FG\) qui forme, de l’autre côté de \(FH\), un angle de \(26^\circ\).
  3. Définir le second côté parallèle :
    • Puisque l’on souhaite que le trapèze ait deux côtés parallèles, choisissons \(EF\) et \(HG\) comme côtés parallèles.
    • Ainsi, tracez par le point \(H\) une droite parallèle à \(FE\).
      (Pour cela, on peut utiliser une règle et un équerre pour reporter l’angle correspondant à la direction de \(FE\) depuis \(H\).)
  4. Déterminer le point \(G\) :
    • Par ailleurs, sur la demi-droite \(FG\) issue de \(F\), on place le point \(G\) de façon à ce que la distance \(GH\) soit exactement \(4\,\text{cm}\).
    • Pour ce faire, avec un compas, ouvrez un rayon de \(4\,\text{cm}\) et, en plaçant la pointe sur \(H\), tracez un arc qui coupe la droite issue de \(F\) par \(FG\) (ou son prolongement).
    • Le point d’intersection sera le point \(G\).
  5. Déterminer le point \(E\) :
    • Le point \(E\) est choisi sur la demi-droite \(FE\) (partant de \(F\)) de sorte que le côté \(EF\) soit parallèle à \(GH\) (ce qui a déjà été assuré en traçant la droite par \(H\) parallèle à \(FE\)).
    • L’intersection entre cette droite parallèle (passant par \(H\)) et la demi-droite \(FE\) (prolongée éventuellement) déterminera \(E\).
  6. Compléter le trapèze :
    • Relier ensuite les points \(E\) à \(F\), \(F\) à \(G\), \(G\) à \(H\) et \(H\) à \(E\) pour obtenir le trapèze \(EFGH\).
  7. Vérification :
    • Vérifier que \(FH=7\,\text{cm}\) et \(GH=4\,\text{cm}\).
    • Contrôler à \(F\) que les angles mesurés entre \(FE\), \(FH\) et \(FG\) sont respectivement \(36^\circ\) et \(26^\circ\).
    • Confirmer que \(EF\) est bien parallèle à \(GH\).

Ces quatre corrections détaillées vous expliquent la démarche à suivre pour réaliser chacune des constructions demandées en respectant les contraintes de longueurs et d’angles.

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