Exercice 3

Construisez un triangle \(MNO\) tel que \(MN = 7\,\text{cm}\), que \(\angle NMO = 35^\circ\) et que \(\angle MNO = 95^\circ\).
Construisez un triangle \(RST\) dans lequel le segment \(RS\) mesure \(8\,\text{cm}\), l’angle \(\angle RST\) vaut \(50^\circ\) et la hauteur issue du sommet \(T\) mesure \(3,5\,\text{cm}\).
Construisez un triangle \(UVW\) où le segment \(UV\) mesure \(7\,\text{cm}\), l’angle \(VUW\) vaut \(45^\circ\) et la médiane issue du sommet \(W\) mesure \(4\,\text{cm}\).

Réponse

Exercice a) – Construisez le triangle MNO en tracant le segment MN = 7 cm, un angle de 35° en M et un angle de 95° en N (ce qui donne l’angle O = 50°). Le point O se trouve par l’intersection des demi-droites issues de M et N.

Exercice b) – Construisez le triangle RST en traçant RS = 8 cm, en formant à S un angle de 50° et en plaçant le point T sur cette demi-droite de façon que la hauteur (distance perpendiculaire de T à RS) soit 3,5 cm. Reliez T à R pour obtenir le triangle.

Exercice c) – Construisez le triangle UVW en traçant UV = 7 cm et en repérant son milieu M (3,5 cm de U et de V). À U, tracez un angle de 45° pour indiquer la direction de UW. Placez W sur cette demi-droite de façon que la médiane WM (de longueur 4 cm) relie W au milieu de UV, puis reliez W à V.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de chacune des constructions demandées :

Exercice a)

Données :
- \(MN = 7\,\text{cm}\)
- \(\angle NMO = 35^\circ\) (angle en \(M\))
- \(\angle MNO = 95^\circ\) (angle en \(N\))

Étapes et explications :

Calcul de l’angle manquant :
Dans un triangle, la somme des angles vaut \(180^\circ\). On calcule l’angle au sommet \(O\) : \[ \angle MON = 180^\circ - (\angle NMO + \angle MNO) = 180^\circ - (35^\circ + 95^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ. \]
Construction du segment \(MN\) :
- Tracez un segment \(MN\) de \(7\,\text{cm}\).
Construction de l’angle en \(M\) :
- À l’extrémité \(M\), tracez un angle de \(35^\circ\) en utilisant un rapporteur. Tracez le demi-droite \(MO\) à partir de \(M\).
Construction de l’angle en \(N\) :
- À l’extrémité \(N\), tracez un angle de \(95^\circ\) en utilisant le rapporteur. Tracez le demi-droite \(NO\) à partir de \(N\).
Détermination du point \(O\) :
- Le point d’intersection des demi-droites \(MO\) et \(NO\) donne le sommet \(O\).
- Reliez \(O\) à \(M\) et \(O\) à \(N\) pour obtenir le triangle \(MNO\).

Ainsi, le triangle \(MNO\) est construit en respectant les données.

Exercice b)

Données :
- \(RS = 8\,\text{cm}\)
- \(\angle RST = 50^\circ\) (angle en \(S\))
- La hauteur issue de \(T\) (la distance perpendiculaire de \(T\) à la droite \(RS\)) vaut \(3,5\,\text{cm}\).

Étapes et explications :

Tracer le côté connu :
- Tracez le segment \(RS\) de \(8\,\text{cm}\).
Construction de l’angle à \(S\) :
- À l’extrémité \(S\), placez le rapporteur et tracez un angle de \(50^\circ\) par rapport au segment \(SR\). Cette demi-droite représente la direction dans laquelle se trouve le sommet \(T\).
Utilisation de la hauteur :
- La hauteur issue de \(T\) correspond à la distance perpendiculaire de \(T\) à la droite contenant \(RS\).
- Pour construire cette hauteur, procédez ainsi :
  1. Tracez une droite parallèle à la direction perpendiculaire à \(RS\) et marquez une distance de \(3,5\,\text{cm}\) à partir de \(RS\).
  2. Plus précisément, à partir de \(S\) ou par une méthode de copie d’une longueur perpendiculaire, marquez sur la demi-droite tracée en (2) le point \(T\) tel que la distance perpendiculaire de \(T\) à \(RS\) soit exactement \(3,5\,\text{cm}\).
- Pour vérifier ou réaliser cette construction, on peut procéder de la façon suivante :
  - À partir du segment \(RS\), tracez une ligne parallèle à la direction normale (perpendiculaire) à \(RS\) distante de \(3,5\,\text{cm}\).
  - L’intersection de cette ligne avec le demi-plan défini par l’angle de \(50^\circ\) à \(S\) détermine le point \(T\).
Finalisation du triangle :
- Une fois le point \(T\) obtenu, reliez \(T\) à \(R\) pour compléter le triangle \(RST\).

Cette construction permet d’obtenir un triangle où \(RS = 8\,\text{cm}\), \(\angle RST = 50^\circ\) et la distance perpendiculaire du sommet \(T\) à \(RS\) est de \(3,5\,\text{cm}\).

Exercice c)

Données :
- \(UV = 7\,\text{cm}\)
- \(\angle VUW = 45^\circ\) (angle au sommet \(U\) entre \(UV\) et \(UW\))
- La médiane issue de \(W\) (c’est-à-dire le segment joignant \(W\) au milieu de \(UV\)) mesure \(4\,\text{cm}\).

Étapes et explications :

Tracer le côté \(UV\) :
- Tracez le segment \(UV\) de \(7\,\text{cm}\).
Déterminer le milieu de \(UV\) :
- Trouvez le point \(M\) tel que \(UM = MV = \frac{7}{2} = 3,5\,\text{cm}\). Vous pouvez utiliser la méthode de la médiatrice ou mesurer la moitié du segment.
Construction de l’angle à \(U\) :
- À l’extrémité \(U\), à l’aide d’un rapporteur, tracez un angle de \(45^\circ\) par rapport à \(UV\). La demi-droite ainsi tracée indique la direction de \(UW\).
Utilisation de la médiane :
- La médiane issue de \(W\) est le segment \(WM\) de longueur \(4\,\text{cm}\).
- À partir du point \(M\), tracez un cercle de rayon \(4\,\text{cm}\).
- Ce cercle coupe la demi-droite issue de \(U\) (celle qui forme un angle de \(45^\circ\) avec \(UV\)) en un point que nous appellerons \(W\).
Finalisation du triangle :
- Reliez \(W\) à \(V\) pour obtenir le triangle \(UVW\).

Grâce à cette construction, le triangle \(UVW\) possède : - Le côté \(UV\) de \(7\,\text{cm}\), - Un angle \(\angle VUW\) de \(45^\circ\), - Une médiane \(WM\) de \(4\,\text{cm}\) (avec \(M\) milieu de \(UV\)).

Ces constructions reposent sur la connaissance des angles, la mesure des segments et des propriétés classiques des triangles (somme des angles, définition d’une hauteur et d’une médiane). En appliquant ces étapes de manière rigoureuse, vous obtiendrez les triangles demandés.