Exercice
Triangle : Calculer BD = √(5² − 4,3²) ≈ 2,55 cm, donc BC ≈ 5,10 cm. Tracer BC, son milieu D, la perpendiculaire en D et placer A tel que AD = 4,3 cm puis relier A à B et C.
Quadrilatère : Tracer la diagonale PR de 5,0 cm (axe de symétrie). À partir de P, placer Q à 3,2 cm, puis obtenir S par symétrie par rapport à PR (donc RS = 3,2 cm). Relier ensuite Q à R, R à S et S à P pour construire PQRS.
Voici une solution détaillée pour construire les figures demandées.
Le triangle \(ABC\) est défini par : - \(AB = AC = 5,0\,\text{cm}\) - La hauteur issue de \(A\) (appelons-la \(AD\)) mesure \(4,3\,\text{cm}\).
Étape 1 : Calcul de la demi-base
Puisque le triangle est isocèle, la hauteur issue du sommet \(A\) coupe la base \(BC\) en son milieu (point \(D\)). On se place alors dans le triangle rectangle \(ABD\) (avec \(\angle ADB = 90^\circ\)). La relation de Pythagore donne : \[ AB^2 = AD^2 + BD^2 \] En connaissant \(AB = 5,0\,\text{cm}\) et \(AD = 4,3\,\text{cm}\), on calcule : \[ BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{5,0^2 - 4,3^2} = \sqrt{25 - 18,49} = \sqrt{6,51} \approx 2,55\,\text{cm}. \] La longueur totale de la base est donc : \[ BC = 2 \times BD \approx 2 \times 2,55 \approx 5,10\,\text{cm}. \]
Étape 2 : Construction
Tracer la base \(BC\)
:
Dessinez un segment \(BC\) d’environ
\(5,1\,\text{cm}\).
Marquer le milieu \(D\)
:
Trouvez le point milieu \(D\) de \(BC\).
Construire la hauteur :
À partir de \(D\), tracez une droite
perpendiculaire à \(BC\). Sur cette
droite, mesurez \(AD = 4,3\,\text{cm}\)
à partir de \(D\) pour déterminer le
point \(A\) (en choisissant la position
au-dessus ou en dessous de \(BC\)).
Relier les points pour former le triangle
:
Tracez les segments \(AB\) et \(AC\). Le triangle \(ABC\) est alors construit avec \(AB = AC = 5,0\,\text{cm}\) et la hauteur
issue de \(A\) mesurant \(4,3\,\text{cm}\).
Le quadrilatère \(PQRS\) satisfait les conditions suivantes : - La diagonale \(PR\) mesure \(5,0\,\text{cm}\). - Les côtés \(PQ\) et \(RS\) mesurent chacun \(3,2\,\text{cm}\). - La diagonale \(PR\) est un axe de symétrie du quadrilatère.
Interprétation :
La symétrie par rapport à la diagonale \(PR\) implique que les points \(Q\) et \(S\) sont symétriques l’un par rapport à la
droite qui contient \(PR\). Ainsi, le
quadrilatère a ses sommets dans l’ordre \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\).
Étape 1 : Tracer la diagonale d’axe de symétrie
Étape 2 : Positionner le point \(Q\)
Étape 3 : Déterminer le point \(S\) par symétrie
Étape 4 : Terminer la construction du quadrilatère
Relier \(Q\) à \(R\) :
Tracez le segment \(QR\).
Relier \(R\) à \(S\) :
Tracez le segment \(RS\) (la même
distance que \(PQ\), c’est-à-dire \(3,2\,\text{cm}\)).
Relier \(S\) à \(P\) :
Enfin, tracez le segment \(SP\) pour
obtenir le quadrilatère \(PQRS\).
Le quadrilatère ainsi obtenu est symétrique par rapport à la diagonale \(PR\) et respecte les longueurs indiquées.
Pour le triangle, on utilise la hauteur pour déterminer la base grâce au théorème de Pythagore. Pour le quadrilatère, on exploite la propriété de symétrie par rapport à la diagonale \(PR\) afin de placer correctement les sommets \(Q\) et \(S\). Ces constructions reposent sur des règles classiques de géométrie : le milieu d’un segment, la droite perpendiculaire et la symétrie.
Ces démarches permettent de réaliser les constructions demandées en respectant toutes les conditions de l’énoncé.