Un marchand de meubles propose des éléments pour bibliothèque selon le tableau suivant :
| Modèle de l’élément | largeur | hauteur | profondeur | prix |
|---|---|---|---|---|
| A |
Un client souhaite agencer ces éléments de la façon suivante :
| (A) | (A) | (A) | ||
|---|---|---|---|---|
| (A) | (B) | (B) | (B) | |
| (A) | (A) |
Volume total = 6 · (Lₐ × Hₐ × Pₐ) + 3 · (L_b × H_b × P_b)
Prix total = 6 · Cₐ + 3 · C_b
Longueur totale des rayons = 3 · L_b.
Voici une correction détaillée en partant du constat que, dans l’énoncé, les « données numériques » ne sont pas précisées. Nous allons donc résoudre l’exercice en exprimant les résultats en fonction des dimensions et du prix des éléments, que nous noterons par des lettres.
Hypothèse concernant les éléments :
On dispose de deux types d’éléments utilisés pour construire la bibliothèque :
- Modèle A (par exemple, les montants ou supports verticaux) dont on notera :
- la largeur : \(L_A\)
- la hauteur : \(H_A\)
- la profondeur : \(P_A\)
- le prix : \(C_A\)
- Modèle B (par exemple, les panneaux-shelves servant de rayons) dont on notera :
- la largeur : \(L_B\)
- la hauteur : \(H_B\)
- la profondeur : \(P_B\)
- le prix : \(C_B\)
Analyse de l’agencement :
La figure donnée est la suivante (chaque case indique l’emplacement d’un élément ou est vide) :
(A) (A) (A) (A) (B) (B) (B) (A) (A) On constate que :
Le modèle A apparaît dans les positions :
- Ligne 1 : 3 fois
- Ligne 2 : 1 fois
- Ligne 3 : 2 fois
Ce qui fait un total de
\[ N_A = 3 + 1 + 2 = 6 \text{ éléments de type A.} \]Le modèle B apparaît dans la ligne 2, 3 fois (les trois cases indiquées dans cette ligne) :
\[ N_B = 3 \text{ éléments de type B.} \]
Remarque concernant le rôle de chaque élément :
Souvent, dans ce type d’exercice, on considère que les éléments de modèle A servent de supports (montants) et que les éléments de modèle B constituent les rayons (les planches horizontales sur lesquelles l’on pose les livres). Ainsi, lorsque la question 3 demande de « déterminer la longueur totale des rayons », on interprète que cela correspond à la somme des largeurs de tous les éléments qui font office de rayon, c’est-à-dire ici tous les éléments de modèle B.
Le volume d’un élément est calculé par le produit de sa largeur, de sa hauteur et de sa profondeur.
Étant donné qu’il y a \(6\) éléments de type A et \(3\) éléments de type B, le volume total \(V_{\text{total}}\) est : \[ V_{\text{total}} = 6 \times V_A + 3 \times V_B = 6 \, (L_A \cdot H_A \cdot P_A) + 3 \, (L_B \cdot H_B \cdot P_B). \]
Le prix total s’obtient en additionnant le prix de chaque élément utilisé.
Donc, le prix total \(C_{\text{total}}\) est : \[ C_{\text{total}} = 6 \times C_A + 3 \times C_B. \]
Ici, comme nous avons établi que le rôle des éléments de modèle B est d’assurer la fonction de rayons (les planches horizontales sur lesquelles vous déposez les ouvrages), la longueur d’un rayon est donnée par la largeur de cet élément.
Chaque élément de modèle B offre donc une longueur \(L_B\). Comme il y en a \(3\), la longueur totale des rayons \(L_{\text{total}}\) est : \[ L_{\text{total}} = 3 \times L_B. \]
Volume total : \[ V_{\text{total}} = 6\, (L_A \cdot H_A \cdot P_A) + 3\, (L_B \cdot H_B \cdot P_B). \]
Prix total : \[ C_{\text{total}} = 6\, C_A + 3\, C_B. \]
Longueur totale des rayons : \[ L_{\text{total}} = 3\, L_B. \]
Cette démarche étape par étape permet de bien comprendre comment, à partir d’un agencement donné, on peut obtenir le volume, le coût et la longueur de rayons d’une bibliothèque même lorsque certains paramètres doivent être laissés sous forme d’expression algébrique.