Exercice 186

Développer par distributivité puis simplifier les expressions suivantes :

1. \(-9\cdot\left(x^{2}-2x+3\right) + 2\cdot\left(-x^{2}+3x-1\right)\)
2. \(2\cdot\left(x^{3}-5x^{2}+13x\right) - 3\cdot\left(2x^{3}-9x^{2}-x\right)\)
3. \(-2\cdot\left(a^{2}+7a\right) + 7\cdot\left(-3a+8a^{2}\right)\)
4. \(5\cdot\left(-4x^{2}-12x\right) - 2\cdot\left(-30x+3x^{2}\right)\)
5. \(-2\cdot\left(x^{2}-5x+2\right) - 3\cdot\left(-x^{2}+7x\right)\)
6. \(-9\cdot\left(2u^{2}-7u\right) + 8\cdot\left(u-4u^{2}\right)\)

Réponse

Voici les réponses finales résumées :

1. -11x² + 24x - 29
   
2. -4x³ + 17x² + 29x
   
3. 54a² - 35a
   
4. -26x²
   
5. x² - 11x - 4
   
6. -50u² + 71u

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

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1. Expression

\[ -9\cdot\left(x^{2} - 2x + 3\right) + 2\cdot\left(-x^{2} + 3x - 1\right) \]

Étape 1 : Développer par distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ -9\cdot x^{2} = -9x^{2},\quad -9\cdot(-2x) = +18x,\quad -9\cdot 3 = -27. \] On obtient :
  \[ -9x^2 + 18x - 27. \]

• Pour le second terme :
  \[ 2\cdot(-x^{2}) = -2x^{2},\quad 2\cdot 3x = 6x,\quad 2\cdot(-1) = -2. \] On obtient :
  \[ -2x^2 + 6x - 2. \]

Étape 2 : Additionner les deux résultats et simplifier

Additionnons les termes semblables :

• \(x^2\) : \(-9x^2 - 2x^2 = -11x^2\)
• \(x\) : \(18x + 6x = 24x\)
• Terme constant : \(-27 - 2 = -29\)

Réponse finale :
\[ \boxed{-11x^2 + 24x - 29} \]

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2. Expression

\[ 2\cdot\left(x^{3} - 5x^{2} + 13x\right) - 3\cdot\left(2x^{3} - 9x^{2} - x\right) \]

Étape 1 : Développer par distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 2\cdot x^{3} = 2x^{3},\quad 2\cdot(-5x^{2}) = -10x^{2},\quad 2\cdot 13x = 26x. \] On obtient :
  \[ 2x^3 - 10x^2 + 26x. \]

• Pour le second terme :
  \[ -3\cdot 2x^{3} = -6x^{3},\quad -3\cdot(-9x^{2}) = +27x^{2},\quad -3\cdot(-x) = +3x. \] On obtient :
  \[ -6x^3 + 27x^2 + 3x. \]

Étape 2 : Additionner et simplifier

Additionnons les termes semblables :

• \(x^3\) : \(2x^3 - 6x^3 = -4x^3\)
• \(x^2\) : \(-10x^2 + 27x^2 = 17x^2\)
• \(x\) : \(26x + 3x = 29x\)

Réponse finale :
\[ \boxed{-4x^3 + 17x^2 + 29x} \]

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3. Expression

\[ -2\cdot\left(a^{2} + 7a\right) + 7\cdot\left(-3a + 8a^{2}\right) \]

Étape 1 : Développer par distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ -2\cdot a^{2} = -2a^2,\quad -2\cdot 7a = -14a. \] On obtient :
  \[ -2a^2 - 14a. \]

• Pour le second terme :
  \[ 7\cdot(-3a) = -21a,\quad 7\cdot 8a^{2} = 56a^2. \] On obtient :
  \[ -21a + 56a^2. \]

Étape 2 : Additionner et simplifier

Additionnons les termes semblables :

• \(a^2\) : \(-2a^2 + 56a^2 = 54a^2\)
• \(a\) : \(-14a - 21a = -35a\)

Réponse finale :
\[ \boxed{54a^2 - 35a} \]

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4. Expression

\[ 5\cdot\left(-4x^{2} - 12x\right) - 2\cdot\left(-30x + 3x^{2}\right) \]

Étape 1 : Développer par distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 5\cdot(-4x^2) = -20x^2,\quad 5\cdot(-12x) = -60x. \] On obtient :
  \[ -20x^2 - 60x. \]

• Pour le second terme :
  \[ -2\cdot(-30x) = 60x,\quad -2\cdot 3x^2 = -6x^2. \] On obtient :
  \[ 60x - 6x^2. \]

Étape 2 : Additionner et simplifier

Additionnons les termes semblables :

• \(x^2\) : \(-20x^2 - 6x^2 = -26x^2\)
• \(x\) : \(-60x + 60x = 0\)

Réponse finale :
\[ \boxed{-26x^2} \]

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5. Expression

\[ -2\cdot\left(x^{2} - 5x + 2\right) - 3\cdot\left(-x^{2} + 7x\right) \]

Étape 1 : Développer par distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ -2\cdot x^{2} = -2x^2,\quad -2\cdot(-5x) = +10x,\quad -2\cdot 2 = -4. \] On obtient :
  \[ -2x^2 + 10x - 4. \]

• Pour le second terme :
  \[ -3\cdot(-x^{2}) = +3x^2,\quad -3\cdot 7x = -21x. \] On obtient :
  \[ 3x^2 - 21x. \]

Étape 2 : Additionner et simplifier

Additionnons les termes semblables :

• \(x^2\) : \(-2x^2 + 3x^2 = x^2\)
• \(x\) : \(10x - 21x = -11x\)
• Terme constant : \(-4\)

Réponse finale :
\[ \boxed{x^2 - 11x - 4} \]

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6. Expression

\[ -9\cdot\left(2u^{2} - 7u\right) + 8\cdot\left(u - 4u^{2}\right) \]

Étape 1 : Développer par distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ -9\cdot 2u^{2} = -18u^2,\quad -9\cdot(-7u)= +63u. \] On obtient :
  \[ -18u^2 + 63u. \]

• Pour le second terme :
  \[ 8\cdot u = 8u,\quad 8\cdot(-4u^2)= -32u^2. \] On obtient :
  \[ 8u - 32u^2. \]

Étape 2 : Additionner et simplifier

Additionnons les termes semblables :

• \(u^2\) : \(-18u^2 - 32u^2 = -50u^2\)
• \(u\) : \(63u + 8u = 71u\)

Réponse finale :
\[ \boxed{-50u^2 + 71u} \]

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Chaque étape a permis de distribuer les produits et de regrouper les termes semblables pour obtenir l’expression finale simplifiée.