Exercice :
Développez les expressions suivantes en appliquant la distributivité, puis réduisez-les :
\[ 3\cdot\left(x^{2}-9x\right) + 5\cdot\left(x-x^{2}\right) \]
\[ 5\cdot\left(-a^{2}+7a\right) - 9\cdot\left(2a-5a^{2}\right) \]
\[ 2\cdot\left(3x^{2}-5x+3\right) - \left(2x^{2}+6x-1\right) \]
\[ 3\cdot\left(-2y^{3}+5y+2y^{2}\right) + 4\cdot\left(y^{3}-2y-y^{2}\right) \]
\[ -2\cdot\left(3a-a^{2}\right) - 9\cdot\left(4a+5a^{2}\right) \]
\[ -4\cdot\left(a^{2}+7a^{3}+a\right) + 3\cdot\left(-a^{2}+2a^{3}-7a\right) \]
Voici la correction détaillée de chaque expression :
Expression :
\[
3\cdot\left(x^{2}-9x\right) + 5\cdot\left(x-x^{2}\right)
\]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Multiplions chaque terme à l’intérieur des parenthèses par le
coefficient extérieur :
\[
3\cdot x^2 - 3\cdot 9x + 5\cdot x - 5\cdot x^2
\] ce qui s’écrit :
\[
3x^2 - 27x + 5x - 5x^2
\]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les termes en \(x^2\) :
\[
3x^2 - 5x^2 = -2x^2
\]
Les termes en \(x\) :
\[
-27x + 5x = -22x
\]
Résultat final :
\[
-2x^2 - 22x
\]
Expression :
\[
5\cdot\left(-a^{2}+7a\right) - 9\cdot\left(2a-5a^{2}\right)
\]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier terme :
\[
5\cdot(-a^{2}) + 5\cdot(7a) = -5a^2 + 35a
\]
Pour le second terme, attention au signe moins devant la parenthèse
:
\[
-9\cdot(2a) + (-9)\cdot(-5a^2) = -18a + 45a^2
\]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
On réunit les termes en \(a^2\) et en
\(a\) :
\[
-5a^2 + 45a^2 = 40a^2
\] \[
35a - 18a = 17a
\]
Résultat final :
\[
40a^2 + 17a
\]
Expression :
\[
2\cdot\left(3x^{2}-5x+3\right) - \left(2x^{2}+6x-1\right)
\]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Multiplions :
\[
2\cdot 3x^2 = 6x^2,\quad 2\cdot(-5x) = -10x,\quad 2\cdot 3 = 6
\]
On obtient :
\[
6x^2 - 10x + 6
\] Ensuite, pour le deuxième groupe, en tenant compte du signe
négatif :
\[
-1\cdot 2x^2 = -2x^2,\quad -1\cdot 6x = -6x,\quad -1\cdot (-1) = +1
\]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Les termes en \(x^2\) :
\[
6x^2 - 2x^2 = 4x^2
\]
Les termes en \(x\) :
\[
-10x - 6x = -16x
\]
Les constantes :
\[
6 + 1 = 7
\]
Résultat final :
\[
4x^2 - 16x + 7
\]
Expression :
\[
3\cdot\left(-2y^{3}+5y+2y^{2}\right) + 4\cdot\left(y^{3}-2y-y^{2}\right)
\]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier groupe :
\[
3\cdot(-2y^3) = -6y^3,\quad 3\cdot(5y) = 15y,\quad 3\cdot(2y^2) = 6y^2
\] Pour le deuxième groupe :
\[
4\cdot(y^3) = 4y^3,\quad 4\cdot(-2y) = -8y,\quad 4\cdot(-y^2) = -4y^2
\]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
En \(y^3\) :
\[
-6y^3 + 4y^3 = -2y^3
\] En \(y^2\) :
\[
6y^2 - 4y^2 = 2y^2
\] En \(y\) :
\[
15y - 8y = 7y
\]
Résultat final :
\[
-2y^3 + 2y^2 + 7y
\]
Expression :
\[
-2\cdot\left(3a - a^{2}\right) - 9\cdot\left(4a+5a^{2}\right)
\]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier groupe :
\[
-2\cdot3a = -6a,\quad -2\cdot(-a^2) = +2a^2
\] Pour le deuxième groupe :
\[
-9\cdot4a = -36a,\quad -9\cdot5a^2 = -45a^2
\]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
En \(a^2\) :
\[
2a^2 - 45a^2 = -43a^2
\] En \(a\) :
\[
-6a -36a = -42a
\]
Résultat final :
\[
-43a^2 - 42a
\]
Expression :
\[
-4\cdot\left(a^{2}+7a^{3}+a\right) + 3\cdot\left(-a^{2}+2a^{3}-7a\right)
\]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier groupe :
\[
-4\cdot a^2 = -4a^2,\quad -4\cdot 7a^3 = -28a^3,\quad -4\cdot a = -4a
\] Pour le deuxième groupe :
\[
3\cdot(-a^2) = -3a^2,\quad 3\cdot(2a^3) = 6a^3,\quad 3\cdot(-7a) = -21a
\]
Étape 2 : Regrouper les termes semblables
En \(a^3\) :
\[
-28a^3 + 6a^3 = -22a^3
\] En \(a^2\) :
\[
-4a^2 - 3a^2 = -7a^2
\] En \(a\) :
\[
-4a - 21a = -25a
\]
Résultat final :
\[
-22a^3 - 7a^2 - 25a
\]
Chacune de ces solutions a été obtenue en appliquant la loi de distributivité puis en regroupant soigneusement les termes semblables afin d’obtenir une expression simplifiée.