Exercice :
Développez chaque expression en appliquant la distributivité, puis réduisez :
Voici la correction détaillée de chaque expression.
L’expression à développer est : \[ 2 \cdot \left(3x^2 - 5x + 2\right) + 3 \cdot \left(8x^2 - x\right) \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier terme : \[ 2 \cdot 3x^2 = 6x^2,\quad 2 \cdot (-5x) = -10x,\quad 2 \cdot 2 = 4. \] On obtient ainsi : \[ 6x^2 - 10x + 4. \]
Pour le deuxième terme : \[ 3 \cdot 8x^2 = 24x^2,\quad 3 \cdot (-x) = -3x. \] Ce qui donne : \[ 24x^2 - 3x. \]
Étape 2 : Réunir et réduire les termes semblables
Regroupons les \(x^2\) : \[ 6x^2 + 24x^2 = 30x^2. \]
Regroupons les \(x\) : \[ -10x - 3x = -13x. \]
Le terme constant reste \(4\).
Ainsi, l’expression réduite est : \[ \boxed{30x^2 - 13x + 4} \]
L’expression à développer est : \[ -5 \cdot \left(2x^2 - 5\right) + 7 \cdot \left(-3x^2 + 1\right) \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier terme : \[ -5 \cdot 2x^2 = -10x^2,\quad -5 \cdot (-5) = 25. \] On obtient : \[ -10x^2 + 25. \]
Pour le deuxième terme : \[ 7 \cdot (-3x^2) = -21x^2,\quad 7 \cdot 1 = 7. \] Ce qui donne : \[ -21x^2 + 7. \]
Étape 2 : Réunir et réduire les termes semblables
Pour les \(x^2\) : \[ -10x^2 - 21x^2 = -31x^2. \]
Pour les constantes : \[ 25 + 7 = 32. \]
L’expression développée et réduite est : \[ \boxed{-31x^2 + 32} \]
L’expression à développer est : \[ 8 \cdot \left(3x + 1\right) + 3 \cdot \left(2x^2 - 5x + 2\right) \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier terme : \[ 8 \cdot 3x = 24x,\quad 8 \cdot 1 = 8. \] Donnant : \[ 24x + 8. \]
Pour le deuxième terme : \[ 3 \cdot 2x^2 = 6x^2,\quad 3 \cdot (-5x) = -15x,\quad 3 \cdot 2 = 6. \] Donnant : \[ 6x^2 - 15x + 6. \]
Étape 2 : Réunir et réduire les termes semblables
Les termes en \(x^2\) : \[ 6x^2\quad \text{(aucun autre terme en }x^2\text{)}. \]
Les termes en \(x\) : \[ 24x - 15x = 9x. \]
Les constantes : \[ 8 + 6 = 14. \]
L’expression finale est : \[ \boxed{6x^2 + 9x + 14} \]
L’expression à développer est : \[ 7 \cdot \left(3x^2 - x\right) + 8 \cdot \left(x^2 - x + 1\right) \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier terme : \[ 7 \cdot 3x^2 = 21x^2,\quad 7 \cdot (-x) = -7x. \] On obtient : \[ 21x^2 - 7x. \]
Pour le deuxième terme : \[ 8 \cdot x^2 = 8x^2,\quad 8 \cdot (-x) = -8x,\quad 8 \cdot 1 = 8. \] Ce qui donne : \[ 8x^2 - 8x + 8. \]
Étape 2 : Réunir et réduire les termes semblables
Pour les \(x^2\) : \[ 21x^2 + 8x^2 = 29x^2. \]
Pour les \(x\) : \[ -7x - 8x = -15x. \]
Pour les constantes : \[ 8. \]
L’expression réduite est : \[ \boxed{29x^2 - 15x + 8} \]
L’expression à développer est : \[ -12 \cdot \left(3x^2 + x + 1\right) - 2 \cdot \left(x^2 - 5\right) \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier terme : \[ -12 \cdot 3x^2 = -36x^2,\quad -12 \cdot x = -12x,\quad -12 \cdot 1 = -12. \] Ce qui donne : \[ -36x^2 - 12x - 12. \]
Pour le deuxième terme : \[ -2 \cdot x^2 = -2x^2,\quad -2 \cdot (-5) = 10. \] Ce qui donne : \[ -2x^2 + 10. \]
Étape 2 : Réunir et réduire les termes semblables
Pour les \(x^2\) : \[ -36x^2 - 2x^2 = -38x^2. \]
Pour les \(x\) : \[ -12x\quad \text{(aucun autre terme en }x\text{)}. \]
Pour les constantes : \[ -12 + 10 = -2. \]
L’expression finale est : \[ \boxed{-38x^2 - 12x - 2} \]
L’expression à développer est : \[ 8 \cdot \left(3x^2 - x + 3\right) - 3 \cdot \left(x^2 - 9x\right) \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
Pour le premier terme : \[ 8 \cdot 3x^2 = 24x^2,\quad 8 \cdot (-x) = -8x,\quad 8 \cdot 3 = 24. \] Ainsi, on obtient : \[ 24x^2 - 8x + 24. \]
Pour le deuxième terme : \[ -3 \cdot x^2 = -3x^2,\quad -3 \cdot (-9x) = 27x. \] Ce qui donne : \[ -3x^2 + 27x. \]
Étape 2 : Réunir et réduire les termes semblables
Pour les \(x^2\) : \[ 24x^2 - 3x^2 = 21x^2. \]
Pour les \(x\) : \[ -8x + 27x = 19x. \]
Le terme constant est : \[ 24. \]
L’expression finale est : \[ \boxed{21x^2 + 19x + 24} \]
Ces corrections montrent comment appliquer la distributivité en multipliant chaque terme à l’intérieur des parenthèses, puis regrouper les termes semblables pour obtenir l’expression réduite finale.