Exercice 183

Exercice

Développer en appliquant la distributivité, puis simplifier les expressions suivantes :

1. \(4a^2b \cdot (2a + 3b^2 + 5ab)\)

2. \(5ab \cdot (3a^2 + 2ab - 9a^3)\)

3. \(5a^3b^2 \cdot (2a + 3a^2b + 12b)\)

4. \(2a^2 \cdot (3a + a^2 + 2)\)

5. \(5ab \cdot (7b^2 + 2a^2b + 8a)\)

6. \(9a^2b \cdot (ab^2 + a - 5b^2)\)

Réponse

Voici le résumé très court des développements :

1. 4a²b(2a + 3b² + 5ab) = 8a³b + 12a²b³ + 20a³b²
   
2. 5ab(3a² + 2ab – 9a³) = 15a³b + 10a²b² – 45a⁴b
   
3. 5a³b²(2a + 3a²b + 12b) = 10a⁴b² + 15a⁵b³ + 60a³b³
   
4. 2a²(3a + a² + 2) = 2a⁴ + 6a³ + 4a²
   
5. 5ab(7b² + 2a²b + 8a) = 35ab³ + 10a³b² + 40a²b
   
6. 9a²b(ab² + a – 5b²) = 9a³b³ + 9a³b – 45a²b³

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque expression.

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1) Développer \(4a^2b \cdot (2a + 3b^2 + 5ab)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(4a^2b\) par chacun des termes de la parenthèse :

• \(4a^2b \cdot 2a\)
• \(4a^2b \cdot 3b^2\)
• \(4a^2b \cdot 5ab\)

Étape 2 : Simplifier chaque produit

1. \(4a^2b \cdot 2a = 4 \times 2 \times a^2 \times a \times b = 8a^3b\)
   (car \(a^2 \cdot a = a^3\))

2. \(4a^2b \cdot 3b^2 = 4 \times 3 \times a^2 \times b \times b^2 = 12a^2b^3\)
   (car \(b \cdot b^2 = b^3\))

3. \(4a^2b \cdot 5ab = 4 \times 5 \times a^2 \times a \times b \times b = 20a^3b^2\)
   (car \(a^2 \cdot a = a^3\) et \(b \cdot b = b^2\))

Conclusion :

\[ 4a^2b \cdot (2a + 3b^2 + 5ab) = 8a^3b + 12a^2b^3 + 20a^3b^2 \]

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2) Développer \(5ab \cdot (3a^2 + 2ab - 9a^3)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(5ab\) par chacun des termes :

• \(5ab \cdot 3a^2\)
• \(5ab \cdot 2ab\)
• \(5ab \cdot (-9a^3)\)

Étape 2 : Simplifier chaque produit

1. \(5ab \cdot 3a^2 = 5 \times 3 \times a \times a^2 \times b = 15a^3b\)

2. \(5ab \cdot 2ab = 5 \times 2 \times a \times a \times b \times b = 10a^2b^2\)

3. \(5ab \cdot (-9a^3) = 5 \times (-9) \times a \times a^3 \times b = -45a^4b\)

Conclusion :

\[ 5ab \cdot (3a^2 + 2ab - 9a^3) = 15a^3b + 10a^2b^2 - 45a^4b \]

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3) Développer \(5a^3b^2 \cdot (2a + 3a^2b + 12b)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(5a^3b^2\) par chaque terme :

• \(5a^3b^2 \cdot 2a\)
• \(5a^3b^2 \cdot 3a^2b\)
• \(5a^3b^2 \cdot 12b\)

Étape 2 : Simplifier chaque produit

1. \(5a^3b^2 \cdot 2a = 5 \times 2 \times a^3 \times a \times b^2 = 10a^4b^2\)

2. \(5a^3b^2 \cdot 3a^2b = 5 \times 3 \times a^3 \times a^2 \times b^2 \times b = 15a^5b^3\)

3. \(5a^3b^2 \cdot 12b = 5 \times 12 \times a^3 \times b^2 \times b = 60a^3b^3\)

Conclusion :

\[ 5a^3b^2 \cdot (2a + 3a^2b + 12b) = 10a^4b^2 + 15a^5b^3 + 60a^3b^3 \]

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4) Développer \(2a^2 \cdot (3a + a^2 + 2)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(2a^2\) par chaque terme :

• \(2a^2 \cdot 3a\)
• \(2a^2 \cdot a^2\)
• \(2a^2 \cdot 2\)

Étape 2 : Simplifier chaque produit

1. \(2a^2 \cdot 3a = 2 \times 3 \times a^2 \times a = 6a^3\)

2. \(2a^2 \cdot a^2 = 2 \times a^2 \times a^2 = 2a^4\)

3. \(2a^2 \cdot 2 = 4a^2\)

Conclusion :

\[ 2a^2 \cdot (3a + a^2 + 2) = 6a^3 + 2a^4 + 4a^2 \]

(On pourra aussi écrire en mettant les termes par ordre décroissant des puissances : \(2a^4 + 6a^3 + 4a^2\).)

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5) Développer \(5ab \cdot (7b^2 + 2a^2b + 8a)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(5ab\) par chacun des termes :

• \(5ab \cdot 7b^2\)
• \(5ab \cdot 2a^2b\)
• \(5ab \cdot 8a\)

Étape 2 : Simplifier chaque produit

1. \(5ab \cdot 7b^2 = 5 \times 7 \times a \times b \times b^2 = 35ab^3\)

2. \(5ab \cdot 2a^2b = 5 \times 2 \times a \times a^2 \times b \times b = 10a^3b^2\)

3. \(5ab \cdot 8a = 5 \times 8 \times a \times a \times b = 40a^2b\)

Conclusion :

\[ 5ab \cdot (7b^2 + 2a^2b + 8a) = 35ab^3 + 10a^3b^2 + 40a^2b \]

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6) Développer \(9a^2b \cdot (ab^2 + a - 5b^2)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(9a^2b\) par chacun des termes :

• \(9a^2b \cdot ab^2\)
• \(9a^2b \cdot a\)
• \(9a^2b \cdot (-5b^2)\)

Étape 2 : Simplifier chaque produit

1. \(9a^2b \cdot ab^2 = 9 \times a^2 \times a \times b \times b^2 = 9a^3b^3\)
   (car \(a^2 \cdot a = a^3\) et \(b \cdot b^2 = b^3\))

2. \(9a^2b \cdot a = 9 \times a^2 \times a \times b = 9a^3b\)

3. \(9a^2b \cdot (-5b^2) = 9 \times (-5) \times a^2 \times b \times b^2 = -45a^2b^3\)

Conclusion :

\[ 9a^2b \cdot (ab^2 + a - 5b^2) = 9a^3b^3 + 9a^3b - 45a^2b^3 \]

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Chacune de ces corrections montre comment appliquer la distributivité et simplifier les produits en multipliant les coefficients et en ajoutant les exposants des puissances de \(a\) et \(b\). Cette méthode vous permettra de développer et simplifier des expressions de manière claire et rigoureuse.