Exercice 182

Exercice.
Pour chacune des expressions suivantes, indiquer quel terme doit être ajouté pour obtenir l’expression demandée.

1. Quel terme ajouter à
   \[ x - y \]
   pour obtenir
   \[ x\,? \]

2. Quel terme ajouter à
   \[ a^2 - b^2 \]
   pour obtenir
   \[ 2a^2\,? \]

3. Quel terme ajouter à
   \[ x + y + z \]
   pour obtenir
   \[ x - z\,? \]

4. Quel terme ajouter à
   \[ x^3 + x^2 - x \]
   pour obtenir
   \[ 2x^3 - x^2 + 2x\,? \]

5. Quel terme ajouter à
   \[ a^2 + b^2 \]
   pour obtenir
   \[ a^2 - b^2\,? \]

6. Quel terme ajouter à
   \[ 2x^2 + y^2 - z^2 \]
   pour obtenir
   \[ 4x^2 + y^2 + 2z^2\,? \]

Réponse

Voici la synthèse des réponses :

1. y
   
2. a² + b²
   
3. –y – 2z
   
4. x³ – 2x² + 3x
   
5. –2b²
   
6. 2x² + 3z²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des questions.

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1) Expression de départ : \(x - y\)

On souhaite obtenir : \(x\)

Nous cherchons le terme \(T\) tel que : \[ x - y + T = x \]

Pour trouver \(T\), on soustrait \(x - y\) des deux côtés de l’équation : \[ T = x - (x - y) \]

En développant la parenthèse : \[ T = x - x + y = y \]

Conclusion : Le terme à ajouter est \(\boxed{y}\).

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2) Expression de départ : \(a^2 - b^2\)

On souhaite obtenir : \(2a^2\)

Ici, nous déterminons \(T\) tel que : \[ a^2 - b^2 + T = 2a^2 \]

On soustrait \(a^2 - b^2\) des deux côtés : \[ T = 2a^2 - (a^2 - b^2) \]

Développons la parenthèse : \[ T = 2a^2 - a^2 + b^2 = a^2 + b^2 \]

Conclusion : Le terme à ajouter est \(\boxed{a^2 + b^2}\).

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3) Expression de départ : \(x + y + z\)

On souhaite obtenir : \(x - z\)

Nous avons donc : \[ x + y + z + T = x - z \]

Isolons \(T\) en soustrayant \(x + y + z\) : \[ T = (x - z) - (x + y + z) \]

Développons cette soustraction : \[ T = x - z - x - y - z = -y - 2z \]

Conclusion : Le terme à ajouter est \(\boxed{-y - 2z}\).

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4) Expression de départ : \(x^3 + x^2 - x\)

On souhaite obtenir : \(2x^3 - x^2 + 2x\)

On plante l’équation : \[ x^3 + x^2 - x + T = 2x^3 - x^2 + 2x \]

Pour trouver \(T\), soustrayons \(x^3 + x^2 - x\) des deux côtés : \[ T = \left(2x^3 - x^2 + 2x\right) - \left(x^3 + x^2 - x\right) \]

Calculons terme à terme :

• Pour \(x^3\) : \(2x^3 - x^3 = x^3\).
• Pour \(x^2\) : \(-x^2 - x^2 = -2x^2\).
• Pour \(x\) : \(2x - (-x) = 2x + x = 3x\).

Ainsi, on obtient : \[ T = x^3 - 2x^2 + 3x \]

Conclusion : Le terme à ajouter est \(\boxed{x^3 - 2x^2 + 3x}\).

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5) Expression de départ : \(a^2 + b^2\)

On souhaite obtenir : \(a^2 - b^2\)

Nous écrivons : \[ a^2 + b^2 + T = a^2 - b^2 \]

Isolons \(T\) en soustrayant \(a^2 + b^2\) : \[ T = (a^2 - b^2) - (a^2 + b^2) \]

Calculons : \[ T = a^2 - b^2 - a^2 - b^2 = -2b^2 \]

Conclusion : Le terme à ajouter est \(\boxed{-2b^2}\).

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6) Expression de départ : \(2x^2 + y^2 - z^2\)

On souhaite obtenir : \(4x^2 + y^2 + 2z^2\)

On cherche \(T\) tel que : \[ 2x^2 + y^2 - z^2 + T = 4x^2 + y^2 + 2z^2 \]

Isolons \(T\) en soustrayant \(2x^2 + y^2 - z^2\) : \[ T = \left(4x^2 + y^2 + 2z^2\right) - \left(2x^2 + y^2 - z^2\right) \]

Calculons terme par terme :

• Pour \(x^2\) : \(4x^2 - 2x^2 = 2x^2\).
• Pour \(y^2\) : \(y^2 - y^2 = 0\).
• Pour \(z^2\) : \(2z^2 - (-z^2) = 2z^2 + z^2 = 3z^2\).

Ainsi, \[ T = 2x^2 + 3z^2 \]

Conclusion : Le terme à ajouter est \(\boxed{2x^2 + 3z^2}\).

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Chaque étape a consisté à trouver la différence entre l’expression souhaitée et l’expression de départ, en réalisant des soustractions et des simplifications terme à terme. Cette méthode permet de vérifier avec soin que l’addition du terme trouvé transforme correctement l’expression initiale en l’expression demandée.