Complétez les espaces vides par des monômes afin d’obtenir des identités :
\[ \ldots - 5x + \ldots - 5x^2 + 3x = -2x^2 \]
\[ 6a^2\,\ldots - 5 - 7a\,\ldots\ldots = 17a^2 - 4a + 7 \]
\[ \ldots + 14b + 17ac - 5a\,\ldots\ldots = 4ac - 7b + 8a \]
\[ \ldots - 16\,\ldots\ldots - 14x^2 + 8x = 5x^2 + 5x + 5 \]
Voici la réponse résumée en français :
Remplir avec 3x² dans le premier emplacement et +2x dans le deuxième.
Après 6a², insérer +11a², et après –7a, mettre +3a puis +12.
Placer –13ac – 21b avant +14b et +13a après –5a.
Avant –16, écrire +19x² + 21 et après –16, ajouter –3x.
Nous allons déterminer les monômes manquants pour que, dans chaque cas, l’égalité soit vraie pour toute valeur de la variable. L’idée est de regrouper les termes de même degré (ou de même type) dans l’expression de gauche et de choisir les coefficients manquants de façon à obtenir exactement ceux de l’expression de droite.
On considère l’identité suivante :
\[
\ldots - 5x + \ldots - 5x^2 + 3x = -2x^2.
\] Il y a deux emplacements à compléter. Pour la clarté de la
démarche, nous notons :
L’expression de gauche devient donc : \[ M - 5x + N - 5x^2 + 3x. \]
Étape 1 : Regroupons les termes semblables
Les termes en \(x^2\)
:
On a déjà \(-5x^2\) et éventuellement
un terme en \(x^2\) contenu dans \(M\) ou \(N\).
Le résultat de droite donne le terme \(-2x^2\).
Ainsi, si la contribution en \(x^2\) de
\(M\) est \(3x^2\) et celle de \(N\) n’en contient pas, alors
\[
3x^2 - 5x^2 = -2x^2.
\]
Les termes en \(x\)
:
On a \(-5x\) et \(+3x\), ce qui donne \[
-5x + 3x = -2x.
\] Comme le membre de droite ne comporte pas de terme en \(x\) (autrement dit, le coefficient de \(x\) doit être nul), il faut annuler ce
\(-2x\). Pour cela, le second monôme
peut intervenir en lui ajoutant \(+2x\).
Ainsi, si on choisit
\[
N = +2x,
\] alors
\[
-5x+ 2x + 3x = ( -5 +2+3)x = 0\cdot x.
\]
Étape 2 : Choix des monômes manquants
Vérification finale :
\[
3x^2 - 5x + 2x - 5x^2 + 3x = (3x^2 - 5x^2) + (-5x+2x+3x)= -2x^2 + 0x,
\] ce qui est bien égal à \(-2x^2\).
L’identité donnée est : \[ 6a^2\,\ldots - 5 - 7a\,\ldots\ldots = 17a^2 - 4a + 7. \] Ici, les points de suspension indiquent des emplacements où insérer des monômes. Remarquons qu’après \(6a^2\) il y a un blanc, puis après \(-7a\) il y a deux blancs. Nous allons compléter ainsi l’expression.
On va écrire l’expression de gauche comme : \[ 6a^2 + M - 5 - 7a + N + P, \] où \(M\), \(N\) et \(P\) sont des monômes à déterminer.
Objectif : obtenir, en regroupant les termes
semblables,
\[
17a^2 - 4a + 7.
\]
Étape 1 : Regroupons par types
Terme en \(a^2\)
:
On a \(6a^2\) et éventuellement la
contribution de \(M\). Pour retrouver
\(17a^2\) :
\[
6a^2 + M = 17a^2 \quad \Longrightarrow \quad M = 11a^2.
\]
Terme en \(a\)
:
Le seul terme en \(a\) visible est
\(-7a\) et \(N\) et/ou \(P\) doivent intervenir pour obtenir \(-4a\) :
\[
-7a + (\text{terme en } a \text{ parmi } N \text{ et } P) = -4a.
\] Il faut donc ajouter \(+3a\).
On peut choisir, par exemple,
\[
N = 3a \quad \text{et} \quad P = 0 \quad \text{(aucun terme constant
dans ce groupe)}.
\]
Terme constant :
On a \(-5\) provenant de l’expression.
Pour obtenir le terme constant \(+7\)
du membre de droite, il faut ajouter
\[
-5 + P' = 7 \quad \Longrightarrow \quad P' = 12.
\] Ici, nous constatons qu’il faut distinguer entre le monôme
apportant la correction en \(a\) et le
monôme constant. Pour regrouper correctement, nous choisissons :
\[
N = 3a \quad \text{(le terme en } a\text{)} \quad \text{et} \quad P =
+12 \quad \text{(le terme constant)}.
\]
Étape 2 : Écriture complète
L’expression s’écrit alors : \[ 6a^2 + \underline{11a^2} - 5 - 7a + \underline{3a} + \underline{12}. \]
Vérification : - Terme \(a^2\) : \(6a^2+11a^2=17a^2\). - Terme en \(a\) : \(-7a+3a=-4a\). - Terme constant : \(-5+12=7\).
L’égalité devient : \[ 17a^2 - 4a + 7, \] ce qui est bien le membre de droite.
L’identité est donnée par : \[ \ldots + 14b + 17ac - 5a\,\ldots\ldots = 4ac - 7b + 8a. \] Ici, on remarque deux emplacements à compléter :
Ainsi, l’expression de gauche devient : \[ M + 14b + 17ac - 5a + N. \]
Objectif : obtenir pour toute valeur des variables
:
\[
4ac - 7b + 8a.
\]
Étape 1 : Identifier les ajustements nécessaires
Pour le terme en \(ac\)
:
On a \(+17ac\) à gauche, mais il faut
obtenir \(+4ac\).
La contribution manquante est donc : \[
17ac + (\text{manquant}) = 4ac \quad \Longrightarrow \quad
\text{manquant} = -13ac.
\]
Pour le terme en \(b\)
:
On a \(+14b\) à gauche, mais il faut
\(-7b\).
Il faut donc ajouter : \[
14b + (\text{manquant}) = -7b \quad \Longrightarrow \quad
\text{manquant} = -21b.
\]
Pour le terme en \(a\)
:
On a \(-5a\) et l’objectif est \(+8a\).
Il manque : \[
-5a + (\text{manquant}) = 8a \quad \Longrightarrow \quad \text{manquant}
= +13a.
\]
Étape 2 : Répartir les corrections dans \(M\) et \(N\)
Nous disposons de deux emplacements mais trois corrections à apporter. Il est naturel de regrouper celles qui ne concernent pas la même variable dans le premier espace et de placer le terme manquant pour \(a\) dans le second espace. Ainsi, nous choisissons :
Vérification :
L’expression complète devient : \[
(-13ac - 21b) + 14b + 17ac - 5a + 13a.
\] Regroupons : - En \(ac\) :
\(-13ac+17ac=4ac\).
- En \(b\) : \(-21b+14b=-7b\).
- En \(a\) : \(-5a+13a=8a\).
On retrouve ainsi : \[ 4ac - 7b + 8a, \] ce qui est exactement le membre de droite.
L’identité proposée est : \[ \ldots - 16\,\ldots\ldots - 14x^2 + 8x = 5x^2 + 5x + 5. \] Ici, deux espaces sont à remplir :
L’expression de gauche s’écrit alors : \[ M - 16 + N - 14x^2 + 8x. \]
L’objectif est d’obtenir : \[ 5x^2 + 5x + 5. \]
Étape 1 : Identifier les corrections nécessaires par type
Terme en \(x^2\)
:
On a \(-14x^2\) et on souhaite avoir
\(5x^2\).
Il faut donc ajouter : \[
-14x^2 + (\text{manquant}) = 5x^2 \quad \Longrightarrow \quad
\text{manquant} = +19x^2.
\]
Terme en \(x\)
:
On a \(+8x\) et il faut \(+5x\).
Cela signifie que nous devons ajouter : \[
8x + (\text{manquant}) = 5x \quad \Longrightarrow \quad \text{manquant}
= -3x.
\]
Terme constant :
On a \(-16\) et il faut \(+5\).
On a donc besoin d’ajouter : \[
-16 + (\text{manquant}) = 5 \quad \Longrightarrow \quad \text{manquant}
= +21.
\]
Étape 2 : Répartition entre \(M\) et \(N\)
Nous avons trois contributions à ajouter : \(+19x^2\), \(-3x\) et \(+21\). Nous pouvons regrouper le terme de degré le plus élevé et la constante dans le premier espace \(M\) et placer le terme en \(x\) dans le second espace \(N\). Ainsi, on choisit :
Vérification :
L’expression complète s’écrit : \[ (19x^2 + 21) - 16 - 3x - 14x^2 + 8x. \] Regroupons :
Pour \(x^2\)
:
\(19x^2 - 14x^2 = 5x^2\).
Pour \(x\)
:
\(-3x + 8x = 5x\).
Pour les constantes :
\(21 - 16 = 5\).
On retrouve exactement : \[ 5x^2 + 5x + 5, \] ce qui correspond au membre de droite.
Chaque correction a été réalisée en identifiant les termes manquants par degré et en répartissant les monômes de manière à obtenir l’égalité demandée.