Exercice 174

Exercice

Pour entourer un champ rectangulaire d’une barrière, on installe un piquet tous les mètres en commençant par l’un des coins du champ. Le coût de la barrière est de 5 fr. par mètre, et chaque piquet coûte 2 fr. La largeur du champ est notée \(x\) et sa longueur \(y\).

1. Établir une formule pour calculer le coût total de l’installation de la barrière, en tenant compte à la fois du prix de la barrière et de celui des piquets.
2. Utiliser cette formule pour déterminer le coût total lorsque le champ mesure 15 mètres de largeur et 40 mètres de longueur.

Réponse

Réponse courte : La formule du coût total est C(x, y) = 14(x + y) et, pour un champ de 15 m par 40 m, C(15, 40) = 14(15 + 40) = 770 francs.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice en deux étapes. Nous avons un champ rectangulaire de largeur \(x\) et de longueur \(y\). La barrière entoure tout le champ, ce qui signifie que sa longueur totale est le périmètre du rectangle. De plus, on installe un piquet tous les mètres en commençant par l’un des coins.

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1. Établir la formule du coût total

a) Coût de la barrière

Le coût de la barrière est de 5 francs par mètre. Le périmètre d’un rectangle est donné par : \[ P = 2(x+y) \] Donc, le coût de la barrière est : \[ \text{Coût barrière} = 5 \times P = 5 \times 2(x+y) = 10(x+y) \]

b) Coût des piquets

On place un piquet tous les mètres le long de la barrière en partant d’un coin du champ. Pour un contour de \(P = 2(x+y)\) mètres, le nombre de piquets est égal à ce nombre de mètres (puisque le dernier piquet coïncide avec le premier et n’est pas compté deux fois).

Ainsi, le nombre de piquets est : \[ N = 2(x+y) \] Chaque piquet coûte 2 francs, donc le coût total des piquets est : \[ \text{Coût piquets} = 2 \times N = 2 \times 2(x+y) = 4(x+y) \]

c) Coût total

Le coût total de l’installation se trouve en additionnant le coût de la barrière et celui des piquets : \[ C(x,y) = 10(x+y) + 4(x+y) = 14(x+y) \]

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2. Calculer le coût total pour \(x = 15\) mètres et \(y = 40\) mètres

On remplace \(x\) et \(y\) dans la formule trouvée : \[ C(15, 40) = 14(15 + 40) \] Calculons la somme à l’intérieur de la parenthèse : \[ 15 + 40 = 55 \] Alors : \[ C(15,40) = 14 \times 55 \] Pour multiplier, on peut effectuer le calcul suivant : \[ 14 \times 55 = 14 \times (50 + 5) = 14 \times 50 + 14 \times 5 = 700 + 70 = 770 \] Le coût total s’élève ainsi à 770 francs.

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Résumé

• Formule du coût total : \[ C(x,y) = 14(x+y) \]
• Coût pour \(x=15\) m et \(y=40\) m : \[ C(15,40) = 770 \text{ francs} \]

Cette démarche pas à pas vous permet de comprendre comment combiner les coûts de la barrière et des piquets pour obtenir le coût total de l’installation.