Exercice 173

\[ \textbf{Exercice} \]

On installe une barrière le long de chacun des deux bords d’un tronçon de route de longueur \(x\) mètres. Des piquets sont plantés tous les mètres. La barrière coûte 4 francs par mètre et chaque piquet coûte 3 francs.

1. Exprimez le coût total en fonction de \(x\).
2. Utilisez cette formule pour calculer le coût total lorsque \(x = 100\) m.

Réponse

1. Coût total = 11x + 3 francs.
2. Pour x = 100 m, coût total = 1103 francs.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé

On installe une barrière le long de chacun des deux bords d’un tronçon de route de longueur \(x\) mètres. Des piquets sont plantés tous les mètres. La barrière coûte 4 francs par mètre et chaque piquet coûte 3 francs.

On vous demande :

1. D’exprimer le coût total en fonction de \(x\).
2. D’utiliser cette formule pour calculer le coût total lorsque \(x = 100\) m.

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1. Calcul du coût total en fonction de \(x\)

a) Coût des barrières

• La route a deux bords, donc on installe deux barrières.
• La longueur de chaque barrière est \(x\) mètres.

La longueur totale de barrière installée est donc : \[ 2 \times x = 2x \text{ mètres}. \]

Sachant que la barrière coûte 4 francs par mètre, le coût total des barrières est : \[ \text{Coût barrières} = 2x \times 4 = 8x \text{ francs}. \]

b) Coût des piquets

Les piquets sont plantés “tous les mètres”. Cela signifie qu’ils sont placés à chaque intervalle d’un mètre le long du tronçon de route.

Remarquons que si l’on plante un piquet au début et à la fin du tronçon ainsi que tous les mètres entre les deux, le nombre total de piquets sera : \[ x + 1. \] En effet, pour \(x\) mètres, il y a \(x + 1\) positions (par exemple, pour \(x = 5\) mètres, on aura des piquets aux positions 0, 1, 2, 3, 4 et 5).

Étant donné que chaque piquet coûte 3 francs, le coût total pour les piquets est : \[ \text{Coût piquets} = 3(x+1) \text{ francs}. \]

c) Coût total

Le coût total de l’installation de la barrière et des piquets est la somme des deux coûts précédents : \[ \text{Coût total} = (\text{Coût barrières}) + (\text{Coût piquets}) = 8x + 3(x+1). \]

Développons cette expression : \[ 8x + 3(x+1) = 8x + 3x + 3 = 11x + 3. \]

Ainsi, le coût total en fonction de \(x\) est : \[ \boxed{11x + 3} \quad \text{(en francs)}. \]

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2. Calcul du coût total lorsque \(x = 100\) m

Il suffit de remplacer \(x\) par 100 dans la formule obtenue :

\[ \text{Coût total} = 11x + 3. \]

En remplaçant : \[ \text{Coût total} = 11 \times 100 + 3 = 1100 + 3 = 1103 \text{ francs}. \]

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Réponse finale

1. Le coût total en fonction de \(x\) est \(11x + 3\) francs.
2. Pour \(x = 100\) m, le coût total est de 1103 francs.

Cette correction détaille chaque étape pour faciliter la compréhension.