Exercice 169

Soit un commerçant qui achète \(x\) œufs à 35 centimes l’unité.

1. Exprimer, en fonction de \(x\), le montant total payé par le commerçant.

2. Si 14 œufs se cassent pendant le transport, exprimer, en fonction de \(x\), le nombre d’œufs restants.

3. Les œufs restants sont revendus à 45 centimes l’unité. Exprimer, en fonction de \(x\), la somme totale encaissée par le commerçant.

4. Comparer le montant encaissé avec le montant payé et déterminer si le commerçant réalise un bénéfice ou une perte.

Réponse

Réponse courte :

1. Le commerçant paie 35x centimes pour x œufs.
   
2. Après casse, il lui reste x – 14 œufs.
   
3. Il encaisse 45(x – 14) centimes en revendant ces œufs.
   
4. Le gain est de 10x – 630 centimes, soit un bénéfice pour x > 63, une perte pour x < 63, et aucun gain pour x = 63.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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1) Montant total payé en fonction de \(x\)

Le commerçant achète \(x\) œufs au prix de 35 centimes chacun. Pour calculer le montant total dépensé, il suffit de multiplier le nombre d’œufs par le prix unitaire.

\[ \text{Montant total payé} = 35 \times x = 35x \quad \text{(centimes)} \]

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2) Nombre d’œufs restants après que 14 œufs se cassent

Si 14 œufs se cassent pendant le transport, il faut soustraire 14 du nombre initial d’œufs \(x\).

\[ \text{Œufs restants} = x - 14 \]

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3) Somme totale encaissée lors de la revente

Les œufs restants sont revendus à 45 centimes l’unité. Le montant total encaissé se calcule en multipliant le nombre d’œufs restants par le prix de vente unitaire :

\[ \text{Montant encaissé} = 45 \times (x - 14) = 45(x-14) \quad \text{(centimes)} \]

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4) Comparaison entre le montant encaissé et le montant payé

Pour déterminer le bénéfice ou la perte réalisée par le commerçant, on calcule la différence entre la somme encaissée et le montant initialement payé.

• Montant payé : \(35x\) centimes
  
• Montant encaissé : \(45(x-14)\) centimes

Calculons la différence :

\[ \text{Bénéfice (ou perte)} = 45(x - 14) - 35x \]

Développons l’expression :

\[ \begin{aligned} 45(x - 14) - 35x &= 45x - 45 \times 14 - 35x \\ &= 45x - 630 - 35x \\ &= (45x - 35x) - 630 \\ &= 10x - 630 \end{aligned} \]

• Si \(10x - 630\) est positif, le commerçant réalise un bénéfice.
  
• Si \(10x - 630\) est négatif, il subit une perte.
  
• Si \(10x - 630 = 0\), il n’y a ni bénéfice ni perte (le commerçant fait exactement son coût).

Pour déterminer à partir de quelle quantité \(x\) le bénéfice est réalisé, on résout l’inéquation :

\[ 10x - 630 > 0 \quad \Longrightarrow \quad 10x > 630 \quad \Longrightarrow \quad x > 63 \]

Ainsi :

• Pour \(x > 63\), le commerçant réalise un bénéfice.
• Pour \(x < 63\), il réalise une perte.
• Pour \(x = 63\), le commerçant ne fait ni bénéfice ni perte.

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Récapitulatif des réponses

1. Montant total payé :
   \[ 35x \quad \text{centimes.} \]

2. Nombre d’œufs restants après casse :
   \[ x - 14. \]

3. Somme totale encaissée :
   \[ 45(x-14) \quad \text{centimes.} \]

4. Différence entre montant encaissé et montant payé :
   \[ 10x - 630 \quad \text{centimes.} \] Le commerçant réalise un bénéfice si \(x > 63\), réalise une perte si \(x < 63\), et ne fait ni bénéfice ni perte si \(x = 63\).

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Cette correction présente la démarche complète et toutes les étapes nécessaires pour résoudre l’exercice.