Exercice :
Soit un carré de côté \(x \; \mathrm{cm}\). On modifie ce carré en diminuant de 15 cm chacun deux côtés parallèles et en allongeant de 15 cm chacun les deux autres côtés, ce qui permet d’obtenir un rectangle (avec \(x > 15\)).
Écrire des formules qui expriment :
Longueur = x + 15, Largeur = x – 15, Aire = (x + 15)(x – 15) = x² – 225.
Nous partons d’un carré de côté \(x\) cm. On va transformer ce carré en rectangle en modifiant deux côtés parallèles et les deux autres côtés parallèles :
Comme le carré avait tous ses côtés de longueur \(x\) cm, cela donne :
On choisit la longueur comme étant la dimension dans laquelle on a ajouté 15 cm. Ainsi, la nouvelle longueur est : \[ \text{Longueur} = x + 15 \]
Pour la largeur, on choisit la dimension dans laquelle on a soustrait 15 cm. La nouvelle largeur est donc : \[ \text{Largeur} = x - 15 \] (Il est précisé dans l’énoncé que \(x > 15\) de sorte à ce que la largeur reste positive.)
L’aire d’un rectangle se calcule en multipliant la longueur par la largeur. Ici, on a : \[ \text{Aire} = (\text{Longueur}) \times (\text{Largeur}) = (x + 15)(x - 15). \] On peut développer cette expression en utilisant la différence de deux carrés qui donne : \[ (x + 15)(x - 15) = x^2 - 15^2 = x^2 - 225. \]
Cette solution utilise les opérations de base et la formule de la différence de deux carrés, ce qui permet de comprendre comment sont obtenues les dimensions et l’aire du rectangle résultant.