Exercice 167

Un héritage doit être partagé entre trois personnes : David, Claude et Isabelle. Selon le testament, David reçoit la somme totale que perçoivent Claude et Isabelle. De plus, la part de Claude est inférieure de 2000 fr. à celle d’Isabelle.

On note \(x\) la somme reçue par Isabelle.

1. Exprimez en fonction de \(x\) la part de Claude et celle de David, ainsi que le montant total de l’héritage.
2. En déduire la part de chacun et le montant total de l’héritage dans le cas où Isabelle reçoit 5000 fr.

Réponse

Réponse courte :

• Pour tout x :
 – Isabelle reçoit x,
 – Claude reçoit x – 2000,
 – David reçoit 2x – 2000,
 – Total de l’héritage = 4x – 4000.

• Pour x = 5000 francs :
 – Isabelle : 5000 francs,
 – Claude : 3000 francs,
 – David : 8000 francs,
 – Héritage total : 16000 francs.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice en deux étapes.

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1. Expression en fonction de \(x\)

On note \(x\) la somme reçue par Isabelle.

a) La part de Claude

Selon l’énoncé, la part de Claude est inférieure de 2000 francs à celle d’Isabelle.
Ainsi, la part de Claude est : \[ \text{Claude} = x - 2000 \]

b) La part de David

Le testament indique que David reçoit la somme totale que perçoivent Claude et Isabelle.
On additionne donc la part d’Isabelle et celle de Claude : \[ \text{David} = x + (x - 2000) = 2x - 2000 \]

c) Le montant total de l’héritage

Le montant total est la somme des parts de Isabelle, Claude et David.
En remplaçant par nos expressions en fonction de \(x\), nous avons : \[ \text{Total} = x + (x - 2000) + (2x - 2000) \] Regroupons les termes semblables : \[ \text{Total} = x + x + 2x - 2000 - 2000 = 4x - 4000 \]

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2. Cas où Isabelle reçoit 5000 francs

Nous remplaçons \(x\) par 5000 dans nos formules.

a) La part d’Isabelle

\[ \text{Isabelle} = x = 5000 \text{ francs} \]

b) La part de Claude

\[ \text{Claude} = x - 2000 = 5000 - 2000 = 3000 \text{ francs} \]

c) La part de David

\[ \text{David} = 2x - 2000 = 2 \times 5000 - 2000 = 10000 - 2000 = 8000 \text{ francs} \]

d) Le montant total de l’héritage

\[ \text{Total} = 4x - 4000 = 4 \times 5000 - 4000 = 20000 - 4000 = 16000 \text{ francs} \]

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Conclusion

• En fonction de \(x\) :
  • La part de Claude est \(x - 2000\).
  • La part de David est \(2x - 2000\).
  • Le montant total de l’héritage est \(4x - 4000\).
• Si Isabelle reçoit 5000 francs :
  • Isabelle : 5000 francs.
  • Claude : 3000 francs.
  • David : 8000 francs.
  • Montant total de l’héritage : 16000 francs.