Exercice 165

Soit un porte-monnaie contenant : - \(x\) pièces de 5 fr, - un certain nombre de pièces de 2 fr, - un certain nombre de pièces de 1 fr.

Le nombre de pièces de 1 fr est supérieur de 4 à celui des pièces de 5 fr, et le nombre de pièces de 2 fr est inférieur de 2 à celui des pièces de 5 fr.

Exprimer par des formules : 1) le nombre de pièces de 1 fr ; 2) le nombre de pièces de 2 fr ; 3) la somme totale en francs contenue dans le porte-monnaie.

Réponse

1. Nombre de pièces de 1 fr : x + 4
   
2. Nombre de pièces de 2 fr : x – 2
   
3. Somme totale en francs : 8x

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Données de l’exercice :

• On note \(x\) le nombre de pièces de 5 francs.
• Le nombre de pièces de 1 franc est supérieur de 4 au nombre de pièces de 5 francs.
• Le nombre de pièces de 2 francs est inférieur de 2 au nombre de pièces de 5 francs.

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1) Exprimer le nombre de pièces de 1 fr

On sait que le nombre de pièces de 1 franc est supérieur de 4 au nombre de pièces de 5 francs.
Cela signifie que l’on ajoute 4 à \(x\).
On a donc :

\[ \text{Nombre de pièces de 1 fr} = x + 4. \]

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2) Exprimer le nombre de pièces de 2 fr

De façon similaire, on nous indique que le nombre de pièces de 2 francs est inférieur de 2 au nombre de pièces de 5 francs.
Ici, on soustrait 2 à \(x\).
On trouve donc :

\[ \text{Nombre de pièces de 2 fr} = x - 2. \]

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3) Exprimer la somme totale en francs contenue dans le porte-monnaie

Nous devons calculer la somme totale en tenant compte des valeurs et du nombre de pièces :

• La valeur totale des pièces de 5 fr est : \(5x\) francs.
• La valeur totale des pièces de 2 fr est : \(2 \times (x-2)\) francs.
• La valeur totale des pièces de 1 fr est : \(1 \times (x+4)\) francs.

Additionnons ces contributions :

\[ \text{Somme totale} = 5x + 2(x-2) + 1(x+4). \]

Développons et simplifions :

1. Développons le second terme :

\[ 2(x-2) = 2x - 4. \]

2. Développons le troisième terme :

\[ 1(x+4) = x + 4. \]

3. Sommons les termes :

\[ 5x + (2x - 4) + (x + 4) = 5x + 2x + x + (-4 + 4). \]

4. Regroupons les coefficients de \(x\) :

\[ 5x + 2x + x = 8x, \]

et les constantes :

\[ -4 + 4 = 0. \]

Donc, la somme totale est :

\[ \text{Somme totale} = 8x \quad \text{francs}. \]

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Réponses finales :

1. Le nombre de pièces de 1 fr est : \(\boxed{x+4}\).

2. Le nombre de pièces de 2 fr est : \(\boxed{x-2}\).

3. La somme totale en francs dans le porte-monnaie est : \(\boxed{8x}\).

Cette démarche permet de comprendre étape par étape comment définir les expressions à partir des informations données et comment procéder à la simplification de la somme totale.