Exercice 162

Exercice :

Simplifiez chacune des expressions suivantes :

1. \(\left(97 x^{2} + 8\right) - \left(13 x^{2} + 4\right)\)
2. \(\left(21 x^{2} - 3 x + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right)\)
3. \(\left(-5 a + a^{2}\right) - \left(3 a - 5 a^{2}\right)\)
4. \(\left(2 a - 3 a^{2}\right) - \left(7 a^{2} + a^{3} - 9 a\right)\)
5. \(-\left(12 x^{3} - 7 x^{2} + x\right) - \left(-x^{3} + x^{2} - x\right)\)
6. \(-\left(-3 b^{2} + 72 b\right) - \left(21 b - 9 b^{2} - 4 b\right)\)

Réponse

Réponses : 1) 84x² + 4
2) 20x² − 3x + 2
3) 6a² − 8a
4) −a³ − 10a² + 11a
5) −11x³ + 6x²
6) 12b² − 89b

Corrigé détaillé

Voici une solution détaillée pour chacune des expressions :

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Exercice 1

Expression à simplifier :
\[ \left(97 x^{2} + 8\right) - \left(13 x^{2} + 4\right) \]

Étapes de la simplification :

1. Retirer les parenthèses :
   On écrit l’expression sans parenthèses en changeant le signe du second groupe : \[ 97x^2 + 8 - 13x^2 - 4 \]

2. Regrouper les termes semblables :

   • Les termes en \(x^2\) : \(97x^2 - 13x^2\)
     
   • Les termes constants : \(8 - 4\)

3. Effectuer les opérations :
   \[ 97x^2 - 13x^2 = 84x^2 \quad \text{et} \quad 8 - 4 = 4 \]

4. Écrire le résultat final : \[ 84x^2 + 4 \]

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Exercice 2

Expression à simplifier :
\[ \left(21 x^{2} - 3 x + 1\right) - \left(x^{2} - 1\right) \]

Étapes de la simplification :

1. Retirer les parenthèses :
   \[ 21x^2 - 3x + 1 - x^2 + 1 \]

2. Regrouper les termes semblables :

   • Les termes en \(x^2\) : \(21x^2 - x^2\)
     
   • Le terme en \(x\) : \(-3x\)
     
   • Les termes constants : \(1 + 1\)

3. Effectuer les opérations :
   \[ 21x^2 - x^2 = 20x^2,\quad -3x \quad \text{et}\quad 1 + 1 = 2 \]

4. Écrire le résultat final : \[ 20x^2 - 3x + 2 \]

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Exercice 3

Expression à simplifier :
\[ \left(-5a + a^{2}\right) - \left(3a - 5a^{2}\right) \]

Étapes de la simplification :

1. Retirer les parenthèses :
   \[ -5a + a^2 - 3a + 5a^2 \]

2. Regrouper les termes semblables :

   • Les termes en \(a^2\) : \(a^2 + 5a^2\)
     
   • Les termes en \(a\) : \(-5a - 3a\)

3. Effectuer les opérations :
   \[ a^2 + 5a^2 = 6a^2,\quad -5a - 3a = -8a \]

4. Écrire le résultat final : \[ 6a^2 - 8a \]

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Exercice 4

Expression à simplifier :
\[ \left(2a - 3a^{2}\right) - \left(7a^{2} + a^{3} - 9a\right) \]

Étapes de la simplification :

1. Retirer les parenthèses :
   \[ 2a - 3a^2 - 7a^2 - a^3 + 9a \]

2. Regrouper les termes semblables :

   • Le terme en \(a^3\) : \(- a^3\)
     
   • Les termes en \(a^2\) : \(-3a^2 - 7a^2\)
     
   • Les termes en \(a\) : \(2a + 9a\)

3. Effectuer les opérations : \[ -3a^2 - 7a^2 = -10a^2,\quad 2a + 9a = 11a \]

4. Écrire le résultat final : \[ -a^3 - 10a^2 + 11a \]

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Exercice 5

Expression à simplifier :
\[ -\left(12x^{3} - 7x^{2} + x\right) - \left(-x^{3} + x^{2} - x\right) \]

Étapes de la simplification :

1. Retirer les parenthèses en appliquant la multiplication par \(-1\) : \[ -12x^3 + 7x^2 - x + x^3 - x^2 + x \]

2. Regrouper les termes semblables :

   • Les termes en \(x^3\) : \(-12x^3 + x^3\)
     
   • Les termes en \(x^2\) : \(7x^2 - x^2\)
     
   • Les termes en \(x\) : \(-x + x\)

3. Effectuer les opérations : \[ -12x^3 + x^3 = -11x^3, \quad 7x^2 - x^2 = 6x^2, \quad -x + x = 0 \]

4. Écrire le résultat final : \[ -11x^3 + 6x^2 \]

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Exercice 6

Expression à simplifier :
\[ -\left(-3b^{2} + 72b\right) - \left(21b - 9b^{2} - 4b\right) \]

Étapes de la simplification :

1. Retirer les parenthèses :
   Appliquons la négation devant la première parenthèse :
   \[ 3b^2 - 72b \]
   Puis, pour la seconde parenthèse, n’oublions pas de changer tous les signes :
   \[ -21b + 9b^2 + 4b \]
   L’expression devient : \[ 3b^2 - 72b - 21b + 9b^2 + 4b \]

2. Regrouper les termes semblables :

   • Les termes en \(b^2\) : \(3b^2 + 9b^2\)
     
   • Les termes en \(b\) : \(-72b - 21b + 4b\)

3. Effectuer les opérations : \[ 3b^2 + 9b^2 = 12b^2 \] Pour les termes en \(b\) :
   \[ -72b - 21b = -93b, \quad -93b + 4b = -89b \]

4. Écrire le résultat final : \[ 12b^2 - 89b \]

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Résumé des réponses

1. \(\displaystyle 84x^2 + 4\)
   
2. \(\displaystyle 20x^2 - 3x + 2\)
   
3. \(\displaystyle 6a^2 - 8a\)
   
4. \(\displaystyle -a^3 - 10a^2 + 11a\)
   
5. \(\displaystyle -11x^3 + 6x^2\)
   
6. \(\displaystyle 12b^2 - 89b\)

Chaque étape a été détaillée pour clarifier le processus de simplification. Cette méthode de retirer les parenthèses, regrouper les termes semblables et effectuer les opérations arithmétiques est utile pour simplifier ce type d’expression algébrique.