Exercice 161

Réduisez chacune des expressions suivantes :

1. \[ -\left(18x^{2} - 3x + 7\right) + \left(19x^{2} + 13x + 1\right) \]

2. \[ -\left(x^{2} + x - 1\right) + \left(x^{2} - x - 1\right) \]

3. \[ -\left(3a - 7a^{2} + 7a\right) + \left(3a^{2} + 10a - 10a^{2}\right) \]

4. \[ -\left(14x^{2} + 2x - 1\right) + \left(12x - 3\right) \]

5. \[ -\left(3x^{2} - 5x + 2\right) + \left(-8x^{2} + 7x\right) \]

6. \[ -\left(-21a^{2} + a^{3} - a\right) + \left(14a^{2} + 7a - 12a^{3}\right) \]

Réponse

Voici le résumé très court des réponses :

1. x² + 16x – 6
   
2. –2x
   
3. 0
   
4. –14x² + 10x – 2
   
5. –11x² + 12x – 2
   
6. –13a³ + 35a² + 8a

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des expressions.

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Exercice 1

Expression à réduire :

\[ -\left(18x^{2} - 3x + 7\right) + \left(19x^{2} + 13x + 1\right) \]

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif :
   Appliquer le signe « - » devant la première parenthèse donne : \[ -18x^{2} + 3x - 7 \]

2. Écrire l’expression complète : \[ -18x^{2} + 3x - 7 + 19x^{2} + 13x + 1 \]

3. Regrouper les termes semblables :

   • Les termes en \(x^2\) : \(-18x^{2} + 19x^{2} = x^{2}\).
     
   • Les termes en \(x\) : \(3x + 13x = 16x\).
     
   • Les constantes : \(-7 + 1 = -6\).

4. Formuler le résultat réduit : \[ x^{2} + 16x - 6 \]

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Exercice 2

Expression à réduire :

\[ -\left(x^{2} + x - 1\right) + \left(x^{2} - x - 1\right) \]

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif :
   \[ -x^{2} - x + 1 \]

2. Écrire l’expression complète : \[ -x^{2} - x + 1 + x^{2} - x - 1 \]

3. Regrouper les termes semblables :

   • \(x^{2}:\) \(-x^{2} + x^{2} = 0\).
     
   • \(x:\) \(-x - x = -2x\).
     
   • Constantes : \(1 - 1 = 0\).

4. Formuler le résultat réduit : \[ -2x \]

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Exercice 3

Expression à réduire :

\[ -\left(3a - 7a^{2} + 7a\right) + \left(3a^{2} + 10a - 10a^{2}\right) \]

Étapes :

1. Simplifier la première parenthèse avant distribution :
   Dans \(\left(3a - 7a^{2} + 7a\right)\), les termes en \(a\) se combinent : \[ 3a + 7a = 10a,\quad \text{donc on obtient } 10a - 7a^{2}. \]

2. Distribuer le signe négatif :
   \[ -\left(10a - 7a^{2}\right) = -10a + 7a^{2} \]

3. Simplifier la deuxième parenthèse :
   \(\left(3a^{2} + 10a - 10a^{2}\right)\) :
   Regroupons les termes en \(a^{2}\) : \[ 3a^{2} - 10a^{2} = -7a^{2}. \] Ainsi, la deuxième parenthèse devient : \[ -7a^{2} + 10a. \]

4. Écrire l’expression complète : \[ -10a + 7a^{2} - 7a^{2} + 10a \]

5. Regrouper les termes semblables :

   • Les termes en \(a^{2}\) : \(7a^{2} - 7a^{2} = 0\).
     
   • Les termes en \(a\) : \(-10a + 10a = 0\).

6. Formuler le résultat réduit : \[ 0 \]

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Exercice 4

Expression à réduire :

\[ -\left(14x^{2} + 2x - 1\right) + \left(12x - 3\right) \]

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif :
   \[ -14x^{2} - 2x + 1 \]

2. Écrire l’expression complète : \[ -14x^{2} - 2x + 1 + 12x - 3 \]

3. Regrouper les termes semblables :

   • Terme en \(x^{2}:\) reste \(-14x^{2}\).
     
   • Termes en \(x:\) \(-2x + 12x = 10x\).
     
   • Constantes : \(1 - 3 = -2\).

4. Formuler le résultat réduit : \[ -14x^{2} + 10x - 2 \]

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Exercice 5

Expression à réduire :

\[ -\left(3x^{2} - 5x + 2\right) + \left(-8x^{2} + 7x\right) \]

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif :
   \[ -3x^{2} + 5x - 2 \]

2. Écrire l’expression complète : \[ -3x^{2} + 5x - 2 - 8x^{2} + 7x \]

3. Regrouper les termes semblables :

   • Terme en \(x^{2}:\) \(-3x^{2} - 8x^{2} = -11x^{2}\).
     
   • Terme en \(x:\) \(5x + 7x = 12x\).
     
   • Constante : \(-2\).

4. Formuler le résultat réduit : \[ -11x^{2} + 12x - 2 \]

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Exercice 6

Expression à réduire :

\[ -\left(-21a^{2} + a^{3} - a\right) + \left(14a^{2} + 7a - 12a^{3}\right) \]

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif dans la première parenthèse :
   \[ -(-21a^{2} + a^{3} - a) = 21a^{2} - a^{3} + a \]

2. Écrire l’expression complète : \[ 21a^{2} - a^{3} + a + 14a^{2} + 7a - 12a^{3} \]

3. Regrouper les termes semblables :

   • Termes en \(a^{3}:\)
     \(-a^{3} - 12a^{3} = -13a^{3}\).
     
   • Termes en \(a^{2}:\)
     \(21a^{2} + 14a^{2} = 35a^{2}\).
     
   • Termes en \(a:\)
     \(a + 7a = 8a\).

4. Formuler le résultat réduit : \[ -13a^{3} + 35a^{2} + 8a \]

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Résumé des réponses

1. \(\boxed{x^{2} + 16x - 6}\)
2. \(\boxed{-2x}\)
3. \(\boxed{0}\)
4. \(\boxed{-14x^{2} + 10x - 2}\)
5. \(\boxed{-11x^{2} + 12x - 2}\)
6. \(\boxed{-13a^{3} + 35a^{2} + 8a}\)

Chaque étape a permis de simplifier et de regrouper les termes de manière claire pour obtenir le résultat final.