Exercice 160

Exercice : Réduire chacune des expressions suivantes

1. \((2a + 3b) - (a + b)\)
2. \((4x + 3y) - (2x + y)\)
3. \((16a + 9) - (5a - 3)\)
4. \((-5a + 3b + 1) - (8b + 2a)\)
5. \(-(-2a + 3b - 53) - (7a - b + 81)\)
6. \(-(-9x + 7a - 13b) - (-12a + 24x - 42b)\)

Réponse

Réponses finales : 1) a + 2b
2) 2x + 2y (ou 2(x + y))
3) 11a + 12
4) –7a – 5b + 1
5) –5a – 2b – 28
6) 5a – 15x + 55b (ou 5(a – 3x + 11b))

Corrigé détaillé

Ci-dessous se trouve la correction détaillée de chacune des expressions.

---

1. Réduire \((2a + 3b) - (a + b)\)

Étapes :

1. Développer la soustraction en distribuant le signe « - » sur le second parenthèse : \[ (2a + 3b) - (a + b) = 2a + 3b - a - b \]

2. Regrouper les termes semblables (ceux contenant \(a\) et ceux contenant \(b\)) : \[ (2a - a) + (3b - b) \]

3. Calculer les différences : \[ 2a - a = a \quad \text{et} \quad 3b - b = 2b \]

Résultat final : \[ a + 2b \]

---

2. Réduire \((4x + 3y) - (2x + y)\)

Étapes :

1. Développer la soustraction : \[ (4x + 3y) - (2x + y) = 4x + 3y - 2x - y \]

2. Regrouper les termes semblables : \[ (4x - 2x) + (3y - y) \]

3. Calculer les différences : \[ 4x - 2x = 2x \quad \text{et} \quad 3y - y = 2y \]

4. On peut également factoriser le résultat : \[ 2x + 2y = 2(x + y) \]

Résultat final : \[ 2x + 2y \quad \text{ou} \quad 2(x+y) \]

---

3. Réduire \((16a + 9) - (5a - 3)\)

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif sur la seconde parenthèse : \[ (16a + 9) - (5a - 3) = 16a + 9 - 5a + 3 \]

2. Regrouper les termes semblables : \[ (16a - 5a) + (9 + 3) \]

3. Calculer les différences et la somme : \[ 16a - 5a = 11a \quad \text{et} \quad 9 + 3 = 12 \]

Résultat final : \[ 11a + 12 \]

---

4. Réduire \((-5a + 3b + 1) - (8b + 2a)\)

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif sur la seconde parenthèse : \[ (-5a + 3b + 1) - (8b + 2a) = -5a + 3b + 1 - 8b - 2a \]

2. Regrouper les termes semblables :

   • Pour \(a\) : \(-5a - 2a = -7a\)
   • Pour \(b\) : \(3b - 8b = -5b\)
   • Le nombre seul : \(+1\)

Résultat final : \[ -7a - 5b + 1 \]

---

5. Réduire \(-(-2a + 3b - 53) - (7a - b + 81)\)

Étapes :

1. Première expression : distribuer le signe négatif sur \(-2a + 3b - 53\) : \[ -(-2a + 3b - 53) = 2a - 3b + 53 \]

2. Puis écrire l’expression complète : \[ 2a - 3b + 53 - (7a - b + 81) \]

3. Distribuer le signe négatif sur le second groupe : \[ 2a - 3b + 53 - 7a + b - 81 \]

4. Regrouper les termes semblables :

   • Pour \(a\) : \(2a - 7a = -5a\)
   • Pour \(b\) : \(-3b + b = -2b\)
   • Pour les constantes : \(53 - 81 = -28\)

Résultat final : \[ -5a - 2b - 28 \]

---

6. Réduire \(-(-9x + 7a - 13b) - (-12a + 24x - 42b)\)

Étapes :

1. Distribuer le signe négatif sur la première parenthèse : \[ -(-9x + 7a - 13b) = 9x - 7a + 13b \]

2. Distribuer le signe négatif sur la seconde parenthèse : \[ -(-12a + 24x - 42b) = 12a - 24x + 42b \]

3. Écrire l’expression complète en réunissant les deux résultats : \[ 9x - 7a + 13b + 12a - 24x + 42b \]

4. Regrouper les termes semblables :

   • Pour \(x\) : \(9x - 24x = -15x\)
   • Pour \(a\) : \(-7a + 12a = 5a\)
   • Pour \(b\) : \(13b + 42b = 55b\)

5. Facultativement, on peut factoriser par 5 : \[ 5a - 15x + 55b = 5(a - 3x + 11b) \]

Résultat final : \[ 5a - 15x + 55b \quad \text{ou} \quad 5(a - 3x + 11b) \]

---

Chaque étape a permis de simplifier les expressions en regroupant les termes semblables et en appliquant la distributivité de la soustraction. Ces explications détaillées offrent une approche claire et structurée pour arriver aux réponses finales.