Exercice 158

Exercice : Simplifier chacune des expressions suivantes

1. \(\left(2a^2 + 5a\right) + \left(3a^2 - 7a\right)\)
2. \(\left(5x^2 + 3x\right) + \left(2x^3 - 9x^2 + 2x\right)\)
3. \(\left(12x^4 - 5x + 2\right) + \left(-4x^4 + 12x - 8\right)\)
4. \(\left(8a^3 + 12a - a^2\right) + \left(4a - 19a^3\right)\)
5. \(\left(-2y^2 + 5y + 2\right) + \left(21y^2 - 9y + 1\right)\)
6. \(\left(3x^2 - 57x\right) + \left(-21x^2 + 84x\right)\)

Réponse

1. 5a² – 2a
   
2. 2x³ – 4x² + 5x
   
3. 8x⁴ + 7x – 6
   
4. –11a³ – a² + 16a
   
5. 19y² – 4y + 3
   
6. –18x² + 27x

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des expressions :

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1) Simplifier \(\left(2a^2 + 5a\right) + \left(3a^2 - 7a\right)\)

1. Identifier les termes semblables :
   • Termes en \(a^2\) : \(2a^2\) et \(3a^2\).
     
   • Termes en \(a\) : \(5a\) et \(-7a\).
2. Additionner les coefficients des termes semblables :
   • Pour \(a^2\) : \(2a^2 + 3a^2 = (2+3)a^2 = 5a^2\).
     
   • Pour \(a\) : \(5a + (-7a) = (5-7)a = -2a\).
3. Écrire le résultat final :
   \[ 5a^2 - 2a \]

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2) Simplifier \(\left(5x^2 + 3x\right) + \left(2x^3 - 9x^2 + 2x\right)\)

1. Réécrire l’expression en regroupant les termes semblables :
   \[ 2x^3 + \left(5x^2 - 9x^2\right) + \left(3x + 2x\right) \]

2. Combiner les coefficients :

   • Terme en \(x^3\) : \(2x^3\) (il n’y a pas d’autre terme en \(x^3\)).
     
   • Terme en \(x^2\) : \(5x^2 - 9x^2 = -4x^2\).
     
   • Terme en \(x\) : \(3x + 2x = 5x\).

3. Résultat final :
   \[ 2x^3 - 4x^2 + 5x \]

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3) Simplifier \(\left(12x^4 - 5x + 2\right) + \left(-4x^4 + 12x - 8\right)\)

1. Identifier les termes semblables :
   • Termes en \(x^4\) : \(12x^4\) et \(-4x^4\).
     
   • Termes en \(x\) : \(-5x\) et \(12x\).
     
   • Termes constants : \(2\) et \(-8\).
2. Additionner les coefficients :
   • Pour \(x^4\) : \(12x^4 - 4x^4 = 8x^4\).
     
   • Pour \(x\) : \(-5x + 12x = 7x\).
     
   • Pour les constantes : \(2 - 8 = -6\).
3. Résultat final :
   \[ 8x^4 + 7x - 6 \]

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4) Simplifier \(\left(8a^3 + 12a - a^2\right) + \left(4a - 19a^3\right)\)

1. Réorganiser les termes par ordre décroissant des puissances :
   \[ (8a^3 - a^2 + 12a) + (-19a^3 + 4a) \]

2. Combiner les termes semblables :

   • Pour \(a^3\) : \(8a^3 - 19a^3 = -11a^3\).
     
   • Pour \(a^2\) : \(-a^2\) (il n’y a pas d’autre terme en \(a^2\)).
     
   • Pour \(a\) : \(12a + 4a = 16a\).

3. Résultat final :
   \[ -11a^3 - a^2 + 16a \]

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5) Simplifier \(\left(-2y^2 + 5y + 2\right) + \left(21y^2 - 9y + 1\right)\)

1. Regrouper les termes semblables :
   \[ (-2y^2 + 21y^2) + (5y - 9y) + (2 + 1) \]

2. Additionner les coefficients :

   • Pour \(y^2\) : \(-2y^2 + 21y^2 = 19y^2\).
     
   • Pour \(y\) : \(5y - 9y = -4y\).
     
   • Pour les constantes : \(2 + 1 = 3\).

3. Résultat final :
   \[ 19y^2 - 4y + 3 \]

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6) Simplifier \(\left(3x^2 - 57x\right) + \left(-21x^2 + 84x\right)\)

1. Réassembler les termes par similitude :
   \[ (3x^2 - 21x^2) + (-57x + 84x) \]

2. Additionner les coefficients :

   • Pour \(x^2\) : \(3x^2 - 21x^2 = -18x^2\).
     
   • Pour \(x\) : \(-57x + 84x = 27x\).

3. Résultat final :
   \[ -18x^2 + 27x \]

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Ces étapes montrent comment regrouper les termes semblables et simplifier chaque expression de manière claire et structurée.