Exercice 156

Exercice

Développez les expressions suivantes en appliquant la distributivité :

1. \((-4x) \cdot \left(x^2 - 3x + 2\right)\)
2. \(\left(-a^3 + 2a - 8\right) \cdot (-5a)\)
3. \(-2a^2 \cdot (3a - 8)\)
4. \(\left(7b^2 - 12b - 4\right) \cdot \left(-5b^2\right)\)

Réponse

Réponses :
1. -4x³ + 12x² - 8x
2. 5a⁴ - 10a² + 40a
3. -6a³ + 16a²
4. -35b⁴ + 60b³ + 20b²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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1. Développer \(-4x \cdot \left(x^2 - 3x + 2\right)\)

Nous allons appliquer la distributivité, c’est-à-dire multiplier \(-4x\) par chaque terme de l’expression entre parenthèses.

• Multiplier \(-4x\) par \(x^2\) :
  \[ -4x \cdot x^2 = -4x^3 \]
• Multiplier \(-4x\) par \(-3x\) :
  \[ -4x \cdot (-3x) = 12x^2 \]
• Multiplier \(-4x\) par \(2\) :
  \[ -4x \cdot 2 = -8x \]

En réunissant tous les résultats, on a :

\[ -4x^3 + 12x^2 - 8x \]

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2. Développer \(\left(-a^3 + 2a - 8\right) \cdot (-5a)\)

Encore une fois, nous distribuons \(-5a\) à chaque terme de \(-a^3 + 2a - 8\).

• Multiplier \(-a^3\) par \(-5a\) :
  \[ -a^3 \cdot (-5a) = 5a^4 \]
• Multiplier \(2a\) par \(-5a\) :
  \[ 2a \cdot (-5a)= -10a^2 \]
• Multiplier \(-8\) par \(-5a\) :
  \[ -8 \cdot (-5a)= 40a \]

En rassemblant les résultats :

\[ 5a^4 - 10a^2 + 40a \]

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3. Développer \(-2a^2 \cdot (3a - 8)\)

On applique la distributivité :

• Multiplier \(-2a^2\) par \(3a\) :
  \[ -2a^2 \cdot 3a = -6a^3 \]
• Multiplier \(-2a^2\) par \(-8\) :
  \[ -2a^2 \cdot (-8)= 16a^2 \]

La somme des deux résultats est :

\[ -6a^3 + 16a^2 \]

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4. Développer \(\left(7b^2 - 12b - 4\right) \cdot \left(-5b^2\right)\)

Nous distribuons \(-5b^2\) à chaque terme de \(7b^2 - 12b - 4\).

• Multiplier \(7b^2\) par \(-5b^2\) :
  \[ 7b^2 \cdot (-5b^2)= -35b^4 \]
• Multiplier \(-12b\) par \(-5b^2\) :
  \[ -12b \cdot (-5b^2)= 60b^3 \]
• Multiplier \(-4\) par \(-5b^2\) :
  \[ -4 \cdot (-5b^2)= 20b^2 \]

En combinant les résultats, nous obtenons :

\[ -35b^4 + 60b^3 + 20b^2 \]

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Réponses finales

1. \(-4x^3 + 12x^2 - 8x\)
   
2. \(5a^4 - 10a^2 + 40a\)
   
3. \(-6a^3 + 16a^2\)
   
4. \(-35b^4 + 60b^3 + 20b^2\)

Chaque étape consiste à multiplier soigneusement chaque terme par le facteur extérieur, puis à additionner les résultats obtenus. Cette méthode garantit que toutes les multiplications ont été effectuées correctement.