Exercice 154

Exercice :

Développez chacun des produits en utilisant la distributivité :

1. \((-a) \cdot (a+1)\)
   
2. \((-x) \cdot (2x+3)\)
   
3. \((-b) \cdot (b-2)\)
   
4. \((-a-5) \cdot (-a)\)

Réponse

Voici la réponse résumée :

1. (-a)·(a+1) = –a² – a
   
2. (-x)·(2x+3) = –2x² – 3x
   
3. (-b)·(b–2) = –b² + 2b
   
4. (–a–5)·(–a) = a² + 5a

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en appliquant la propriété de distributivité pour développer chacun des produits.

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1) Développer \((-a) \cdot (a+1)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(-a\) par chaque terme de \((a+1)\) :

\[ (-a) \cdot (a+1) = (-a) \cdot a + (-a) \cdot 1 \]

Étape 2 : Réaliser les multiplications

• \((-a) \cdot a = -a^2\)
• \((-a) \cdot 1 = -a\)

Étape 3 : Additionner les résultats

\[ - a^2 - a \]

Donc, le développement est :

\[ (-a) \cdot (a+1) = -a^2 - a \]

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2) Développer \((-x) \cdot (2x+3)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

\[ (-x) \cdot (2x+3) = (-x) \cdot 2x + (-x) \cdot 3 \]

Étape 2 : Réaliser les multiplications

• \((-x) \cdot 2x = -2x^2\)
• \((-x) \cdot 3 = -3x\)

Étape 3 : Additionner les résultats

\[ -2x^2 - 3x \]

Donc, le développement est :

\[ (-x) \cdot (2x+3) = -2x^2 - 3x \]

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3) Développer \((-b) \cdot (b-2)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

\[ (-b) \cdot (b-2) = (-b) \cdot b + (-b) \cdot (-2) \]

Étape 2 : Réaliser les multiplications

• \((-b) \cdot b = -b^2\)
• \((-b) \cdot (-2) = 2b\) (le produit de deux nombres négatifs est positif)

Étape 3 : Additionner les résultats

\[ -b^2 + 2b \]

Donc, le développement est :

\[ (-b) \cdot (b-2) = -b^2 + 2b \]

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4) Développer \((-a-5) \cdot (-a)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

\[ (-a-5) \cdot (-a) = (-a) \cdot (-a) + (-5) \cdot (-a) \]

Étape 2 : Réaliser les multiplications

• \((-a) \cdot (-a) = a^2\) (le produit de deux nombres négatifs est positif)
• \((-5) \cdot (-a) = 5a\)

Étape 3 : Additionner les résultats

\[ a^2 + 5a \]

Donc, le développement est :

\[ (-a-5) \cdot (-a) = a^2 + 5a \]

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Résumé des développements :

1. \(\boxed{-a^2 - a}\)
   
2. \(\boxed{-2x^2 - 3x}\)
   
3. \(\boxed{-b^2 + 2b}\)
   
4. \(\boxed{a^2 + 5a}\)

Chaque étape a été détaillée pour montrer comment appliquer la distributivité et réaliser les multiplications en tenant compte du signe de chaque terme.