Exercice 149

Développez chacune des expressions suivantes en utilisant la distributivité :

1. \((-1)(a+b)\)
   
2. \((-3)(x+y)\)
   
3. \((-2)(a-b)\)
   
4. \((c-4)(-3)\)

Réponse

Réponses : 1) (-1)(a+b) = -a - b
2) (-3)(x+y) = -3x - 3y
3) (-2)(a-b) = -2a + 2b
4) (c-4)(-3) = -3c + 12

Corrigé détaillé

Nous allons développer chaque expression en appliquant la propriété de la distributivité, qui nous indique que :

\[ k(u+v)=ku+kv \]

où \(k\), \(u\) et \(v\) sont des nombres ou des variables.

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1) \((-1)(a+b)\)

Étapes :

1. Appliquons la distributivité en multipliant \(-1\) par \(a\) et par \(b\) : \[ (-1)(a+b) = (-1) \cdot a + (-1) \cdot b \]

2. Effectuons la multiplication : \[ = -a - b \]

Réponse :
\[ - a - b \]

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2) \((-3)(x+y)\)

Étapes :

1. Distribuons \(-3\) aux termes \(x\) et \(y\) : \[ (-3)(x+y) = (-3) \cdot x + (-3) \cdot y \]

2. Calculons chaque produit : \[ = -3x - 3y \]

Réponse :
\[ - 3x - 3y \]

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3) \((-2)(a-b)\)

Étapes :

1. Rappelons que \(a-b\) peut être considéré comme \(a+(-b)\). Distribuons \(-2\) : \[ (-2)(a-b) = (-2) \cdot a + (-2) \cdot (-b) \]

2. Calculons chaque multiplication :

   • \((-2) \cdot a = -2a\)
   • \((-2) \cdot (-b) = 2b\) (le produit de deux nombres négatifs est positif)

3. Assemblons les résultats : \[ = -2a + 2b \]

Réponse :
\[ - 2a + 2b \]

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4) \((c-4)(-3)\)

Étapes :

1. Ici, on distribue \(-3\) aux deux termes de \(c-4\) : \[ (c-4)(-3) = c \cdot (-3) + (-4) \cdot (-3) \]

2. Effectuons les multiplications :

   • \(c \cdot (-3) = -3c\)
   • \((-4) \cdot (-3) = 12\) (car \(-4 \times -3 = 12\))

3. Assemblons les résultats : \[ = -3c + 12 \]

Réponse :
\[ - 3c + 12 \]

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Résumé des résultats

1. \(\displaystyle (-1)(a+b) = -a - b\)
   
2. \(\displaystyle (-3)(x+y) = -3x - 3y\)
   
3. \(\displaystyle (-2)(a-b) = -2a + 2b\)
   
4. \(\displaystyle (c-4)(-3) = -3c + 12\)

Chaque étape est réalisée en appliquant la distributivité pour multiplier le nombre ou l’expression en dehors des parenthèses par chacun des termes à l’intérieur.