Exercice 146

Calculer les produits suivants :

1. \((-3b) \cdot (-2) \cdot (4b^2)\)
   
2. \(-2x \cdot (3x^2)\)
   
3. \(5a^2 \cdot (-4a)\)
   
4. \((-3x^2) \cdot (-21x)\)

Réponse

Réponses : 24b³, –6x³, –20a³, 63x³.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée pour chacun des produits :

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1) Calcul de \((-3b) \cdot (-2) \cdot (4b^2)\)

Étape 1 : Multiplier les coefficients numériques.

• On multiplie d’abord \(-3\) par \(-2\) :
  \[ (-3) \times (-2) = 6 \]
• Ensuite, on multiplie le résultat par \(4\) :
  \[ 6 \times 4 = 24 \]

Étape 2 : Multiplier les parties littérales (les \(b\)).

• On a \(b\) (qui est \(b^1\)) et \(b^2\).
  En utilisant la propriété des puissances \(b^m \cdot b^n = b^{m+n}\), on obtient :
  \[ b^1 \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3 \]

Étape 3 : Combiner les deux résultats.

• En combinant les coefficients et les variables, on a :
  \[ (-3b) \cdot (-2) \cdot (4b^2) = 24b^3 \]

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2) Calcul de \(-2x \cdot (3x^2)\)

Étape 1 : Multiplier les coefficients numériques.

• On a \(-2 \times 3 = -6\).

Étape 2 : Multiplier les parties littérales (les \(x\)).

• On a \(x\) (c’est-à-dire \(x^1\)) et \(x^2\).
  Ainsi :
  \[ x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3 \]

Étape 3 : Combiner les deux résultats.

• Donc :
  \[ -2x \cdot (3x^2) = -6x^3 \]

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3) Calcul de \(5a^2 \cdot (-4a)\)

Étape 1 : Multiplier les coefficients numériques.

• On multiplie \(5\) par \(-4\) : \[ 5 \times (-4) = -20 \]

Étape 2 : Multiplier les parties littérales (les \(a\)).

• On a \(a^2\) et \(a\) (qui est \(a^1\)).
  Ainsi :
  \[ a^2 \cdot a^1 = a^{2+1} = a^3 \]

Étape 3 : Combiner les résultats.

• Ainsi :
  \[ 5a^2 \cdot (-4a) = -20a^3 \]

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4) Calcul de \((-3x^2) \cdot (-21x)\)

Étape 1 : Multiplier les coefficients numériques.

• On multiplie \(-3\) par \(-21\) : \[ (-3) \times (-21) = 63 \]

Étape 2 : Multiplier les parties littérales (les \(x\)).

• On a \(x^2\) et \(x\) (qui est \(x^1\)).
  En utilisant la règle des exposants :
  \[ x^2 \cdot x^1 = x^{2+1} = x^3 \]

Étape 3 : Combiner les deux résultats.

• Donc :
  \[ (-3x^2) \cdot (-21x) = 63x^3 \]

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Récapitulatif des réponses :

1. \(\boxed{24b^3}\)
   
2. \(\boxed{-6x^3}\)
   
3. \(\boxed{-20a^3}\)
   
4. \(\boxed{63x^3}\)

Chaque étape consiste à multiplier d’abord les nombres puis à appliquer la somme des exposants pour les variables associées. Cela permet de simplifier correctement les expressions.