Exercice 139

Exercice
Appliquez la règle de distributivité pour démontrer que chacune des égalités suivantes est incorrecte :

1. \[5 \cdot (x - y) = 5x - y\]
2. \[12 \cdot (2a + 3b) = 24a + 48b\]
3. \[a^2 \cdot (2a + 7) = 2a^3 - 7a^2\]
4. \[6 \cdot (3x + 2y - 8) = 18x + 16y - 48\]
5. \[x \cdot (x - 5) + (x - 5) \cdot x = 2x^2\]

Réponse

Voici le résumé très court :

1. 5(x – y) = 5x – 5y
   
2. 12(2a + 3b) = 24a + 36b
   
3. a²(2a + 7) = 2a³ + 7a²
   
4. 6(3x + 2y – 8) = 18x + 12y – 48
   
5. x(x – 5) + (x – 5)x = 2x² – 10x

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice en appliquant la règle de distributivité, en expliquant étape par étape pourquoi chacune des égalités proposées est incorrecte.

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1. Égalité proposée

\[ 5 \cdot (x - y) = 5x - y \]

Correction :

• Étape 1 : Appliquer la distributivité
  La règle de distributivité indique que pour tout réel \(a\) et pour toute parenthèse,
  \[ 5 \cdot (x - y) = 5 \cdot x - 5 \cdot y. \]
• Étape 2 : Calculer chaque terme
  Cela donne : \[ 5x - 5y. \]
• Conclusion :
  L’égalité correcte est
  \[ 5 \cdot (x - y) = 5x - 5y. \] Dans l’égalité proposée, le terme \(-5y\) a été remplacé par \(-y\). C’est donc incorrect.

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2. Égalité proposée

\[ 12 \cdot (2a + 3b) = 24a + 48b \]

Correction :

• Étape 1 : Appliquer la distributivité
  On multiplie 12 par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse : \[ 12 \cdot (2a + 3b) = 12 \cdot 2a + 12 \cdot 3b. \]
• Étape 2 : Calculer chaque terme
  \[ 12 \cdot 2a = 24a \quad \text{et} \quad 12 \cdot 3b = 36b. \] On obtient donc : \[ 12 \cdot (2a + 3b) = 24a + 36b. \]
• Conclusion :
  L’égalité correcte est
  \[ 24a + 36b. \] Dans l’égalité proposée, le terme \(36b\) a été remplacé par \(48b\), ce qui est erroné.

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3. Égalité proposée

\[ a^2 \cdot (2a + 7) = 2a^3 - 7a^2 \]

Correction :

• Étape 1 : Appliquer la distributivité
  Multiplier \(a^2\) par chacun des termes : \[ a^2 \cdot (2a + 7) = a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot 7. \]
• Étape 2 : Calculer chaque terme
  Pour le premier terme, on applique la loi des exposants : \[ a^2 \cdot 2a = 2 \cdot a^{2+1} = 2a^3. \] Pour le deuxième terme : \[ a^2 \cdot 7 = 7a^2. \] Ainsi, on obtient : \[ a^2 \cdot (2a + 7) = 2a^3 + 7a^2. \]
• Conclusion :
  L’égalité correcte est
  \[ 2a^3 + 7a^2. \] Dans l’égalité proposée, le signe devant \(7a^2\) est négatif, alors qu’il devrait être positif.

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4. Égalité proposée

\[ 6 \cdot (3x + 2y - 8) = 18x + 16y - 48 \]

Correction :

• Étape 1 : Appliquer la distributivité
  Multiplier 6 par chacun des termes dans la parenthèse : \[ 6 \cdot (3x + 2y - 8) = 6 \cdot 3x + 6 \cdot 2y + 6 \cdot (-8). \]
• Étape 2 : Calculer chaque terme
  \[ 6 \cdot 3x = 18x, \] \[ 6 \cdot 2y = 12y, \] \[ 6 \cdot (-8) = -48. \] On obtient donc : \[ 6 \cdot (3x + 2y - 8) = 18x + 12y - 48. \]
• Conclusion :
  L’égalité correcte est
  \[ 18x + 12y - 48. \] Dans l’égalité proposée, le coefficient de \(y\) apparaît comme \(16y\) au lieu de \(12y\), ce qui montre l’erreur.

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5. Égalité proposée

\[ x \cdot (x - 5) + (x - 5) \cdot x = 2x^2 \]

Correction :

• Étape 1 : Reconnaître la commutativité
  Les deux produits \(x \cdot (x - 5)\) et \((x - 5) \cdot x\) sont identiques. Calculons l’un d’eux : \[ x \cdot (x - 5) = x \cdot x - x \cdot 5 = x^2 - 5x. \]
• Étape 2 : Additionner les deux termes identiques
  Comme ils sont identiques, leur somme est : \[ (x^2 - 5x) + (x^2 - 5x) = 2x^2 - 10x. \]
• Conclusion :
  L’égalité correcte est
  \[ x \cdot (x - 5) + (x - 5) \cdot x = 2x^2 - 10x. \] L’égalité proposée donne \(2x^2\), omettant le terme \(-10x\).

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Récapitulatif des erreurs

1. Premier exercice : Erreur sur le signe et le coefficient du terme en \(y\).
2. Deuxième exercice : Erreur sur le coefficient de \(b\) : \(12 \times 3b = 36b\) et non \(48b\).
3. Troisième exercice : Mauvais signe pour le terme \(7a^2\).
4. Quatrième exercice : Erreur sur le coefficient du terme en \(y\) : \(6 \times 2y = 12y\) et non \(16y\).
5. Cinquième exercice : Omission du terme \(-10x\) lors de l’addition des deux expressions identiques.

Chaque égalité est incorrecte car elle ne respecte pas la règle de distributivité dans son application complète.

Voilà, nous avons démontré étape par étape pourquoi chacune de ces égalités est incorrecte.