Les égalités suivantes sont-elles des identités, c’est-à-dire, sont-elles vraies pour toutes les valeurs des variables ?
\[ a^2 \cdot 2a = 2a^2 \]
\[ (3x) \cdot (4x) = 7x^2 \]
\[ (7y)^2 \cdot (2y^2) = 14y^2 \]
\[ 5a \cdot 3a - 7a^2 = 8a^2 \]
\[ 14a \cdot a \cdot (2a) = 16a^3 \]
Réponses rapides : 1. Non
2. Non
3. Non
4. Oui
5. Non
Voici une correction détaillée pour chaque égalité.
Étape 1 : Simplifier le membre de gauche
Nous avons le produit
\[
a^2 \cdot 2a.
\]
Ici, on peut réorganiser l’expression en regroupant le coefficient et
les puissances de \(a\) :
\[ a^2 \cdot 2a = 2 \cdot a^2 \cdot a. \]
Étape 2 : Appliquer la règle des exposants
Pour multiplier \(a^2\) et \(a\), on additionne les exposants :
\[ a^2 \cdot a^1 = a^{2+1} = a^3. \]
On obtient donc :
\[ 2 \cdot a^3 = 2a^3. \]
Étape 3 : Comparaison avec le membre de droite
Le membre de droite est \(2a^2\).
L’égalité devient donc :
\[ 2a^3 = 2a^2. \]
Pour que cette égalité soit vraie pour toutes les valeurs de \(a\), il faudrait que \(a^3 = a^2\) pour tout \(a\). Or, cette relation est vraie
uniquement si \(a = 0\) ou encore en
annulant un facteur commun \(a^2\)
(pour \(a \neq 0\), on aurait \(a = 1\)).
Conclusion : L’égalité n’est pas vraie pour toutes les
valeurs de \(a\), ce n’est donc pas une
identité.
Étape 1 : Calculer le membre de gauche
On commence par multiplier :
\[ (3x) \cdot (4x) = 3 \cdot 4 \cdot x \cdot x = 12x^2. \]
Étape 2 : Comparer avec le membre de droite
Le membre de droite est \(7x^2\).
Ici, on a :
\[ 12x^2 = 7x^2. \]
Pour que cela soit toujours vrai (c’est-à-dire pour toute valeur de
\(x\)), il faudrait que les
coefficients soient égaux, soit \(12 =
7\), ce qui est faux.
Conclusion : L’égalité n’est donc pas une identité.
Étape 1 : Simplifier le membre de gauche
Calculons \((7y)^2\) :
\[ (7y)^2 = 7^2 \cdot y^2 = 49y^2. \]
Ensuite, on multiplie par \(2y^2\) :
\[ 49y^2 \cdot 2y^2 = 49 \cdot 2 \cdot (y^2 \cdot y^2). \]
Étape 2 : Appliquer la règle des exposants
Pour \(y^2 \cdot y^2\), on additionne les exposants :
\[ y^2 \cdot y^2 = y^{2+2} = y^4. \]
Donc :
\[ 49y^2 \cdot 2y^2 = 98y^4. \]
Étape 3 : Comparer avec le membre de droite
Le membre droit est \(14y^2\).
On a donc :
\[ 98y^4 = 14y^2. \]
Pour \(y \neq 0\), on peut diviser chaque membre par \(y^2\) :
\[ 98y^2 = 14 \quad \Longrightarrow \quad y^2 = \frac{14}{98} = \frac{1}{7}. \]
L’égalité ne tient donc que pour certaines valeurs de \(y\) (ou pour \(y
= 0\) naturellement).
Conclusion : L’égalité n’est pas une identité car elle
n’est pas vraie pour toutes les valeurs de \(y\).
Étape 1 : Calculer le produit du premier terme
Multiplions \(5a\) par \(3a\) :
\[ 5a \cdot 3a = 15a^2. \]
Étape 2 : Soustraire \(7a^2\)
On obtient :
\[ 15a^2 - 7a^2 = 8a^2. \]
Étape 3 : Comparer avec le membre de droite
Le membre de droite est également \(8a^2\).
L’égalité est donc :
\[ 8a^2 = 8a^2. \]
Cette égalité est vraie pour toute valeur de \(a\).
Conclusion : C’est une identité.
Étape 1 : Multiplier les termes du membre de gauche
On regroupe les coefficients et les variables :
Ainsi,
\[
14a \cdot a \cdot (2a) = 28a^3.
\]
Étape 2 : Comparer avec le membre de droite
Le membre de droite est \(16a^3\).
On doit comparer :
\[ 28a^3 = 16a^3. \]
Pour que cette égalité soit vraie pour tout \(a\), les coefficients doivent être égaux,
c’est-à-dire \(28 = 16\), ce qui n’est
pas le cas.
Conclusion : L’égalité n’est pas une identité.
Chaque égalité a été analysée par la simplification du membre de gauche et sa comparaison avec le membre de droite. Seule la quatrième égalité se vérifie pour toute valeur de la variable.