Déterminez si les égalités suivantes sont des identités :
\(4 \cdot (5x) = 20x\)
\((16a) \cdot 3 = 19a\)
\(2 \cdot (3b) + 4 \cdot (5b) = 6b^2\)
\(6x \cdot 3 - 2 \cdot 8x + 3x = 5x\)
\(7 \cdot (6x^2) = 42x\)
\(5 \cdot (3x^2) - 4x^2 \cdot 8 = 17x^2\)
Voici la correction détaillée pour chacune des égalités proposées :
Étape 1 : Développer l’expression.
On applique la multiplication : \[
4 \cdot (5x) = 4 \cdot 5 \cdot x = 20x.
\]
Étape 2 : Comparer les deux côtés de
l’égalité.
Le côté gauche est exactement \(20x\)
et le côté droit est aussi \(20x\).
Conclusion :
L’égalité est vraie pour tout \(x\).
C’est une identité.
Étape 1 : Développer l’expression.
On calcule : \[
16a \cdot 3 = 48a.
\]
Étape 2 : Comparer les deux côtés.
On a donc : \[
48a = 19a.
\] Cette égalité est vraie lorsque \[
48a - 19a = 0 \quad \Longrightarrow \quad 29a = 0.
\]
Étape 3 : Résoudre l’équation.
Pour \(29a = 0\), il faut que \(a = 0\).
Conclusion :
L’égalité n’est vraie que pour \(a =
0\) et non pour tout \(a\).
Ce n’est pas une identité.
Étape 1 : Développer le côté gauche.
Calculons chaque terme : \[
2 \cdot (3b) = 6b \quad \text{et} \quad 4 \cdot (5b) = 20b.
\] La somme donne : \[
6b + 20b = 26b.
\]
Étape 2 : Comparer avec le côté droit.
L’égalité devient : \[
26b = 6b^2.
\]
Étape 3 : Chercher les solutions.
On écrit l’équation sous forme réduite : \[
6b^2 - 26b = 0.
\] On factorise par \(b\) :
\[
b(6b - 26) = 0.
\] Les solutions sont : \[
b = 0 \quad \text{ou} \quad 6b - 26 = 0 \; \Rightarrow \; b =
\frac{26}{6} = \frac{13}{3}.
\]
Conclusion :
L’égalité est vraie seulement pour \(b =
0\) ou \(b = \frac{13}{3}\), et
non pour tout \(b\).
Ce n’est pas une identité.
Étape 1 : Développer chaque terme.
Calculons les produits : \[
6x \cdot 3 = 18x, \qquad 2 \cdot 8x = 16x.
\]
Étape 2 : Remplacer et simplifier.
L’expression devient : \[
18x - 16x + 3x.
\] Regroupons les termes semblables : \[
18x - 16x = 2x, \quad \text{puis} \quad 2x + 3x = 5x.
\]
Étape 3 : Comparer avec le côté droit.
On obtient : \[
5x = 5x.
\]
Conclusion :
L’égalité est vraie pour tout \(x\).
C’est une identité.
Étape 1 : Développer le côté gauche.
On calcule : \[
7 \cdot (6x^2) = 42x^2.
\]
Étape 2 : Comparer avec le côté droit.
On a : \[
42x^2 = 42x.
\] Pour que cette égalité ait lieu, il faut que : \[
42x^2 - 42x = 0 \quad \Longrightarrow \quad 42x(x - 1) = 0.
\]
Étape 3 : Chercher les solutions.
L’équation se résout en : \[
x = 0 \quad \text{ou} \quad x - 1 = 0 \; \Rightarrow \; x = 1.
\]
Conclusion :
L’égalité est vraie uniquement pour \(x =
0\) ou \(x = 1\), et non pour
tout \(x\).
Ce n’est pas une identité.
Étape 1 : Développer chaque terme.
Calculons les produits : \[
5 \cdot (3x^2) = 15x^2, \qquad 4x^2 \cdot 8 = 32x^2.
\]
Étape 2 : Regrouper les termes du côté gauche.
On obtient : \[
15x^2 - 32x^2 = -17x^2.
\]
Étape 3 : Comparer avec le côté droit.
L’égalité devient : \[
-17x^2 = 17x^2.
\] Cela se réduit à : \[
-17x^2 - 17x^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad -34x^2 = 0,
\] ce qui implique que : \[
x^2 = 0 \quad \text{donc} \quad x = 0.
\]
Conclusion :
L’égalité est vraie uniquement lorsque \(x =
0\), et non pour tout \(x\).
Ce n’est pas une identité.