Exercice 136

Exercice : Développer et simplifier

Développez les expressions suivantes en appliquant la distributivité, puis simplifiez-les :

1. \[ 2b\left(b^2 + 3b + 1\right) + b\left(5b + 4\right) \]

2. \[ \left(6x^2 + 3x + 5\right)4x + 5x\left(2x^2 + 7\right) \]

3. \[ 6a\left(a^2 - 3a\right) + \left(2a^2 + 7\right)5a \]

4. \[ \left(3y^2 + 5y - 6\right)2 + 4y\left(7 - 8y\right) \]

5. \[ 8(2a+3b) + 7(4b - a) \]

6. \[ (21x + 16y)2 + 4(9x - 5y) \]

Réponse

Voici les réponses finales de chaque expression :

1. 2b³ + 11b² + 6b
   
2. 34x³ + 12x² + 55x
   
3. 16a³ – 18a² + 35a
   
4. –26y² + 38y – 12
   
5. 9a + 52b
   
6. 78x + 12y

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des expressions demandées.

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1) Développer et simplifier

On part de l’expression
\[ 2b\left(b^2 + 3b + 1\right) + b\left(5b + 4\right) \]

Étape 1 : Développer avec la distributivité
- Pour le premier terme :
\[ 2b \times b^2 = 2b^3,\quad 2b \times 3b = 6b^2,\quad 2b \times 1 = 2b \] Ce qui donne :
\[ 2b^3 + 6b^2 + 2b \]

• Pour le deuxième terme :
  \[ b \times 5b = 5b^2,\quad b \times 4 = 4b \] Ce qui donne :
  \[ 5b^2 + 4b \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables
Additionnons les termes de même degré :
- Pour les termes en \(b^3\) : \(2b^3\)
- Pour les termes en \(b^2\) : \(6b^2 + 5b^2 = 11b^2\)
- Pour les termes en \(b\) : \(2b + 4b = 6b\)

Résultat final
\[ \boxed{2b^3 + 11b^2 + 6b} \]

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2) Développer et simplifier

On part de l’expression
\[ \left(6x^2 + 3x + 5\right)4x + 5x\left(2x^2 + 7\right) \]

Étape 1 : Développer avec la distributivité
- Pour le premier terme :
\[ 4x \times 6x^2 = 24x^3,\quad 4x \times 3x = 12x^2,\quad 4x \times 5 = 20x \] Ce qui donne :
\[ 24x^3 + 12x^2 + 20x \]

• Pour le deuxième terme :
  \[ 5x \times 2x^2 = 10x^3,\quad 5x \times 7 = 35x \] Ce qui donne :
  \[ 10x^3 + 35x \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables
- \(x^3\) : \(24x^3 + 10x^3 = 34x^3\)
- \(x^2\) : \(12x^2\) (seul)
- \(x\) : \(20x + 35x = 55x\)

Résultat final
\[ \boxed{34x^3 + 12x^2 + 55x} \]

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3) Développer et simplifier

On part de l’expression
\[ 6a\left(a^2 - 3a\right) + \left(2a^2 + 7\right)5a \]

Étape 1 : Développer avec la distributivité
- Pour le premier terme :
\[ 6a \times a^2 = 6a^3,\quad 6a \times (-3a) = -18a^2 \] Ce qui donne :
\[ 6a^3 - 18a^2 \]

• Pour le deuxième terme :
  \[ 5a \times 2a^2 = 10a^3,\quad 5a \times 7 = 35a \] Ce qui donne :
  \[ 10a^3 + 35a \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables
- \(a^3\) : \(6a^3 + 10a^3 = 16a^3\)
- \(a^2\) : \(-18a^2\)
- \(a\) : \(35a\)

Résultat final
\[ \boxed{16a^3 - 18a^2 + 35a} \]

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4) Développer et simplifier

On part de l’expression
\[ \left(3y^2 + 5y - 6\right)2 + 4y\left(7 - 8y\right) \]

Étape 1 : Développer avec la distributivité
- Pour le premier terme :
\[ 2 \times 3y^2 = 6y^2,\quad 2 \times 5y = 10y,\quad 2 \times (-6) = -12 \] Ce qui donne :
\[ 6y^2 + 10y - 12 \]

• Pour le deuxième terme :
  \[ 4y \times 7 = 28y,\quad 4y \times (-8y) = -32y^2 \] Ce qui donne :
  \[ -32y^2 + 28y \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables
- \(y^2\) : \(6y^2 - 32y^2 = -26y^2\)
- \(y\) : \(10y + 28y = 38y\)
- Terme constant : \(-12\)

Résultat final
\[ \boxed{-26y^2 + 38y - 12} \]

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5) Développer et simplifier

On part de l’expression
\[ 8(2a+3b) + 7(4b - a) \]

Étape 1 : Développer avec la distributivité
- Pour le premier terme :
\[ 8 \times 2a = 16a,\quad 8 \times 3b = 24b \] Ce qui donne :
\[ 16a + 24b \]

• Pour le deuxième terme :
  \[ 7 \times 4b = 28b,\quad 7 \times (-a) = -7a \] Ce qui donne :
  \[ 28b - 7a \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables
- Pour \(a\) : \(16a - 7a = 9a\)
- Pour \(b\) : \(24b + 28b = 52b\)

Résultat final
\[ \boxed{9a + 52b} \]

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6) Développer et simplifier

On part de l’expression
\[ (21x + 16y)2 + 4(9x - 5y) \]

Étape 1 : Développer avec la distributivité
- Pour le premier terme :
\[ 2 \times 21x = 42x,\quad 2 \times 16y = 32y \] Ce qui donne :
\[ 42x + 32y \]

• Pour le deuxième terme :
  \[ 4 \times 9x = 36x,\quad 4 \times (-5y) = -20y \] Ce qui donne :
  \[ 36x - 20y \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables
- Pour \(x\) : \(42x + 36x = 78x\)
- Pour \(y\) : \(32y - 20y = 12y\)

Résultat final
\[ \boxed{78x + 12y} \]

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Chacune des expressions a été développée et simplifiée en appliquant la distributivité, puis en regroupant les termes semblables.
Ces démarches montrent étape par étape comment procéder pour simplifier des expressions algébriques.