Exercice : Développer et réduire les expressions suivantes
Développer et réduire l’expression : \[a(a+3) + a(5+2a)\]
Développer et réduire l’expression : \[3a(2+a) + (2a+3)(2a)\]
Développer et réduire l’expression : \[x(5x-2) + 3x(15-x)\]
Développer et réduire l’expression : \[6y(y^2-4) + (3y^2+6)(2y)\]
Développer et réduire l’expression : \[4x(15-3x) + (6x-2)(9x)\]
Développer et réduire l’expression : \[a(a^2-a+3) + (a^3+2a^2)(8)\]
Exercice 1 : 3a² + 8a
Exercice 2 : 7a² + 12a
Exercice 3 : 2x² + 43x
Exercice 4 : 12y³ – 12y
Exercice 5 : 42x² + 42x
Exercice 6 : 9a³ + 15a² + 3a
Voici la correction détaillée pas-à-pas des exercices.
Énoncé :
Développer et réduire l’expression
\[
a(a+3) + a(5+2a)
\]
Étape 1 : Développer chaque terme
- Pour le premier terme, on distribue \(a\) à l’intérieur de la parenthèse : \[
a(a+3) = a \times a + a \times 3 = a^2 + 3a
\] - Pour le second terme, on procède de la même façon : \[
a(5+2a) = a \times 5 + a \times 2a = 5a + 2a^2
\]
Étape 2 : Additionner les deux développements
\[
a^2 + 3a + 5a + 2a^2
\]
Étape 3 : Réduire en regroupant les termes
semblables
- Termes en \(a^2\) : \(a^2 + 2a^2 = 3a^2\)
- Termes en \(a\) : \(3a + 5a = 8a\)
Ainsi, l’expression réduite est
\[
\boxed{3a^2 + 8a}
\]
Énoncé :
Développer et réduire l’expression
\[
3a(2+a) + (2a+3)(2a)
\]
Étape 1 : Développer chaque terme
- Pour le premier terme : \[
3a(2+a) = 3a \times 2 + 3a \times a = 6a + 3a^2
\] - Pour le second terme, on distribue \(2a\) : \[
(2a+3)(2a) = 2a \times 2a + 3 \times 2a = 4a^2 + 6a
\]
Étape 2 : Additionner les deux développements
\[
6a + 3a^2 + 4a^2 + 6a
\]
Étape 3 : Réduire en regroupant les termes
semblables
- Termes en \(a^2\) : \(3a^2 + 4a^2 = 7a^2\)
- Termes en \(a\) : \(6a + 6a = 12a\)
L’expression réduite est
\[
\boxed{7a^2 + 12a}
\]
Énoncé :
Développer et réduire l’expression
\[
x(5x-2) + 3x(15-x)
\]
Étape 1 : Développer chaque terme
- Pour le premier terme : \[
x(5x-2) = x \times 5x + x \times (-2) = 5x^2 - 2x
\] - Pour le second terme : \[
3x(15-x) = 3x \times 15 + 3x \times (-x) = 45x - 3x^2
\]
Étape 2 : Additionner les deux développements
\[
5x^2 - 2x + 45x - 3x^2
\]
Étape 3 : Réduire en regroupant les termes
semblables
- Termes en \(x^2\) : \(5x^2 - 3x^2 = 2x^2\)
- Termes en \(x\) : \(-2x + 45x = 43x\)
L’expression développée et réduite est
\[
\boxed{2x^2 + 43x}
\]
Énoncé :
Développer et réduire l’expression
\[
6y(y^2-4) + (3y^2+6)(2y)
\]
Étape 1 : Développer chaque terme
- Pour le premier terme : \[
6y(y^2-4) = 6y \times y^2 + 6y \times (-4) = 6y^3 - 24y
\] - Pour le second terme, on distribue \(2y\) : \[
(3y^2+6)(2y) = 3y^2 \times 2y + 6 \times 2y = 6y^3 + 12y
\]
Étape 2 : Additionner les deux développements
\[
6y^3 - 24y + 6y^3 + 12y
\]
Étape 3 : Réduire en regroupant les termes
semblables
- Termes en \(y^3\) : \(6y^3 + 6y^3 = 12y^3\)
- Termes en \(y\) : \(-24y + 12y = -12y\)
L’expression réduite est
\[
\boxed{12y^3 - 12y}
\]
Énoncé :
Développer et réduire l’expression
\[
4x(15-3x) + (6x-2)(9x)
\]
Étape 1 : Développer chaque terme
- Pour le premier terme : \[
4x(15-3x) = 4x \times 15 + 4x \times (-3x) = 60x - 12x^2
\] - Pour le second terme : \[
(6x-2)(9x) = 6x \times 9x + (-2) \times 9x = 54x^2 - 18x
\]
Étape 2 : Additionner les deux développements
\[
60x - 12x^2 + 54x^2 - 18x
\]
Étape 3 : Réduire en regroupant les termes
semblables
- Termes en \(x^2\) : \(-12x^2 + 54x^2 = 42x^2\)
- Termes en \(x\) : \(60x - 18x = 42x\)
L’expression développée et réduite est
\[
\boxed{42x^2 + 42x}
\]
Énoncé :
Développer et réduire l’expression
\[
a(a^2-a+3) + (a^3+2a^2)(8)
\]
Étape 1 : Développer chaque terme
- Pour le premier terme : \[
a(a^2-a+3) = a \times a^2 + a \times (-a) + a \times 3 = a^3 - a^2 +
3a
\] - Pour le second terme, multiplier chaque terme de la
parenthèse par \(8\) : \[
(a^3+2a^2)(8) = 8 \times a^3 + 8 \times 2a^2 = 8a^3 + 16a^2
\]
Étape 2 : Additionner les deux développements
\[
a^3 - a^2 + 3a + 8a^3 + 16a^2
\]
Étape 3 : Réduire en regroupant les termes
semblables
- Termes en \(a^3\) : \(a^3 + 8a^3 = 9a^3\)
- Termes en \(a^2\) : \(-a^2 + 16a^2 = 15a^2\)
- Terme en \(a\) : \(3a\)
L’expression développée et réduite est
\[
\boxed{9a^3 + 15a^2 + 3a}
\]
Ces étapes permettent de comprendre le processus de développement et de réduction des expressions algébriques en distribuant les facteurs puis en regroupant les termes semblables.