Exercice 134

Développez et réduisez les expressions suivantes en utilisant la distributivité :

1. \(3 \cdot \left(x^{2} - 9x\right) + 5 \cdot \left(x - x^{2}\right)\)

2. \(5 \cdot \left(-a^{2} + 7a\right) + 9 \cdot \left(2a - 5a^{2}\right)\)

3. \(2 \cdot \left(3x^{2} - 5x + 3\right) + \left(2x^{2} + 6x - 1\right)\)

4. \(7 \cdot \left(3x^{2} - x\right) + 8 \cdot \left(x^{2} - x + 1\right)\)

5. \(2 \cdot (b - 4) + 3 \cdot (4 - b)\)

6. \(12 \cdot (y + 5) + 4 \cdot (3y - 6)\)

Réponse

Voici le résumé très court des résultats :

1. –2x² – 22x
   
2. –50a² + 53a
   
3. 8x² – 4x + 5
   
4. 29x² – 15x + 8
   
5. –b + 4
   
6. 24y + 36

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chacune des expressions.

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1) Développer et réduire

L’expression à traiter est
\[ 3 \cdot \left(x^{2} - 9x\right) + 5 \cdot \left(x - x^{2}\right) \]

Étape 1 : Appliquer la distributivité
Distribuons les coefficients dans chaque parenthèse :

• Pour le premier terme :
  \[ 3 \cdot \left(x^{2} - 9x\right) = 3x^{2} - 27x \]
• Pour le second terme :
  \[ 5 \cdot \left(x - x^{2}\right) = 5x - 5x^{2} \]

Étape 2 : Assembler les termes développés
On obtient :
\[ 3x^{2} - 27x + 5x - 5x^{2} \]

Étape 3 : Regrouper les termes semblables
Regroupons les termes en \(x^2\) et ceux en \(x\) :

• Termes en \(x^2\) : \(3x^{2} - 5x^{2} = -2x^{2}\)
• Termes en \(x\) : \(-27x + 5x = -22x\)

Résultat final :
\[ -2x^{2} - 22x \]

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2) Développer et réduire

L’expression est
\[ 5 \cdot \left(-a^{2} + 7a\right) + 9 \cdot \left(2a - 5a^{2}\right) \]

Étape 1 : Appliquer la distributivité
Distribuons :

• Pour le premier terme :
  \[ 5 \cdot \left(-a^{2} + 7a\right) = -5a^{2} + 35a \]
• Pour le second terme :
  \[ 9 \cdot \left(2a - 5a^{2}\right) = 18a - 45a^{2} \]

Étape 2 : Assembler les termes développés
On obtient :
\[ -5a^{2} + 35a + 18a - 45a^{2} \]

Étape 3 : Regrouper les termes semblables
- Termes en \(a^{2}\) : \(-5a^{2} - 45a^{2} = -50a^{2}\) - Termes en \(a\) : \(35a + 18a = 53a\)

Résultat final :
\[ -50a^{2} + 53a \]

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3) Développer et réduire

Il nous est demandé de développer
\[ 2 \cdot \left(3x^{2} - 5x + 3\right) + \left(2x^{2} + 6x - 1\right) \]

Étape 1 : Appliquer la distributivité
Distribuons le 2 dans le premier terme :

\[ 2 \cdot \left(3x^{2} - 5x + 3\right) = 6x^{2} - 10x + 6 \]

Le second terme reste inchangé.

Étape 2 : Assembler les deux expressions
\[ 6x^{2} - 10x + 6 + 2x^{2} + 6x - 1 \]

Étape 3 : Regrouper les termes semblables
- Termes en \(x^{2}\) : \(6x^{2} + 2x^{2} = 8x^{2}\) - Termes en \(x\) : \(-10x + 6x = -4x\) - Termes constants : \(6 - 1 = 5\)

Résultat final :
\[ 8x^{2} - 4x + 5 \]

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4) Développer et réduire

L’expression à développer est
\[ 7 \cdot \left(3x^{2} - x\right) + 8 \cdot \left(x^{2} - x + 1\right) \]

Étape 1 : Appliquer la distributivité
Distribuons :

• Pour le premier terme :
  \[ 7 \cdot \left(3x^{2} - x\right) = 21x^{2} - 7x \]
• Pour le second terme :
  \[ 8 \cdot \left(x^{2} - x + 1\right) = 8x^{2} - 8x + 8 \]

Étape 2 : Assembler les deux expressions
\[ 21x^{2} - 7x + 8x^{2} - 8x + 8 \]

Étape 3 : Regrouper les termes semblables
- Termes en \(x^{2}\) : \(21x^{2} + 8x^{2} = 29x^{2}\) - Termes en \(x\) : \(-7x - 8x = -15x\) - Termes constants : \(8\)

Résultat final :
\[ 29x^{2} - 15x + 8 \]

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5) Développer et réduire

L’expression donnée est
\[ 2 \cdot (b - 4) + 3 \cdot (4 - b) \]

Étape 1 : Appliquer la distributivité
Distribuons :

• Pour le premier terme :
  \[ 2 \cdot (b - 4) = 2b - 8 \]
• Pour le second terme :
  \[ 3 \cdot (4 - b) = 12 - 3b \]

Étape 2 : Assembler les deux expressions
\[ 2b - 8 + 12 - 3b \]

Étape 3 : Regrouper les termes semblables
- Termes en \(b\) : \(2b - 3b = -b\) - Termes constants : \(-8 + 12 = 4\)

Résultat final :
\[ -b + 4 \]

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6) Développer et réduire

L’expression est
\[ 12 \cdot (y + 5) + 4 \cdot (3y - 6) \]

Étape 1 : Appliquer la distributivité
Distribuons :

• Pour le premier terme :
  \[ 12 \cdot (y + 5) = 12y + 60 \]
• Pour le second terme :
  \[ 4 \cdot (3y - 6) = 12y - 24 \]

Étape 2 : Assembler les deux expressions
\[ 12y + 60 + 12y - 24 \]

Étape 3 : Regrouper les termes semblables
- Termes en \(y\) : \(12y + 12y = 24y\) - Termes constants : \(60 - 24 = 36\)

Résultat final :
\[ 24y + 36 \]

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Ainsi, les expressions développées et réduites sont :

1. \(-2x^{2} - 22x\)
   
2. \(-50a^{2} + 53a\)
   
3. \(8x^{2} - 4x + 5\)
   
4. \(29x^{2} - 15x + 8\)
   
5. \(-b + 4\)
   
6. \(24y + 36\)