Exercice 133

Exercice :

Développez en utilisant la distributivité, puis réduisez chacune des expressions suivantes :

1. \(2\cdot (x+3)+4\cdot (2x+1)\)

2. \((2x+7)\cdot 3+7\cdot (2+3x)\)

3. \(5\cdot (3a+b)+2\cdot (2b+4a)\)

4. \((a-b)\cdot 4+3\cdot (2b-a)\)

5. \(3\cdot (x-5)+(2x+12)\cdot 6\)

6. \(15\cdot (2x-y)+4\cdot (x-3y)\)

Réponse

1. 10x + 10
   
2. 27x + 35
   
3. 23a + 9b
   
4. a + 2b
   
5. 15x + 57
   
6. 34x - 27y

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacune des expressions étape par étape :

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1) \(2\cdot (x+3)+4\cdot (2x+1)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 2\cdot (x+3)= 2\cdot x + 2\cdot 3 = 2x + 6 \]
• Pour le deuxième terme :
  \[ 4\cdot (2x+1)= 4\cdot 2x + 4\cdot 1 = 8x + 4 \]

Étape 2 : Additionner les résultats

On combine les deux expressions obtenues : \[ 2x + 6 + 8x + 4 = (2x + 8x) + (6 + 4) = 10x + 10 \]

Résultat final :
\[ 10x + 10 \]

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2) \((2x+7)\cdot 3+7\cdot (2+3x)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 3\cdot (2x+7) = 3\cdot 2x + 3\cdot 7 = 6x + 21 \]
• Pour le deuxième terme :
  \[ 7\cdot (2+3x) = 7\cdot 2 + 7\cdot 3x = 14 + 21x \]

Étape 2 : Additionner les expressions

On réunit les termes semblables : \[ 6x + 21 + 14 + 21x = (6x + 21x) + (21 + 14) = 27x + 35 \]

Résultat final :
\[ 27x + 35 \]

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3) \(5\cdot (3a+b)+2\cdot (2b+4a)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 5\cdot (3a+b)= 5\cdot 3a + 5\cdot b = 15a + 5b \]
• Pour le deuxième terme :
  \[ 2\cdot (2b+4a)= 2\cdot 2b + 2\cdot 4a = 4b + 8a \]

Étape 2 : Regrouper les termes semblables

On réunit les termes en \(a\) et en \(b\) : \[ 15a + 5b + 8a + 4b = (15a+8a) + (5b+4b) = 23a + 9b \]

Résultat final :
\[ 23a + 9b \]

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4) \((a-b)\cdot 4+3\cdot (2b-a)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 4\cdot (a-b)= 4\cdot a - 4\cdot b = 4a - 4b \]
• Pour le deuxième terme :
  \[ 3\cdot (2b-a)= 3\cdot 2b - 3\cdot a = 6b - 3a \]

Étape 2 : Réunir et simplifier les termes

On combine les expressions : \[ 4a - 4b - 3a + 6b = (4a-3a) + (-4b+6b) = a + 2b \]

Résultat final :
\[ a + 2b \]

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5) \(3\cdot (x-5)+(2x+12)\cdot 6\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 3\cdot (x-5)= 3\cdot x - 3\cdot 5 = 3x - 15 \]
• Pour le deuxième terme :
  \[ 6\cdot (2x+12)= 6\cdot 2x + 6\cdot 12 = 12x + 72 \]

Étape 2 : Additionner et regrouper

On additionne les termes obtenus : \[ 3x - 15 + 12x + 72 = (3x + 12x) + (-15 + 72) = 15x + 57 \]

Résultat final :
\[ 15x + 57 \]

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6) \(15\cdot (2x-y)+4\cdot (x-3y)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

• Pour le premier terme :
  \[ 15\cdot (2x-y)= 15\cdot 2x - 15\cdot y = 30x - 15y \]
• Pour le deuxième terme :
  \[ 4\cdot (x-3y)= 4\cdot x - 4\cdot 3y = 4x - 12y \]

Étape 2 : Regrouper les termes similaires

On combine les deux expressions : \[ 30x - 15y + 4x - 12y = (30x+4x) + (-15y-12y) = 34x - 27y \]

Résultat final :
\[ 34x - 27y \]

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Ces étapes montrent comment utiliser la distributivité pour développer et réduire chacune des expressions proposées de manière claire et détaillée.