Exercice 132

Exercice : Développement avec la Distributivité

Développez chacune des expressions suivantes en appliquant la distributivité :

1. \(a \cdot \left(5a^2 + 3a + 7\right)\)
2. \(\left(2x - 3x^2 + 9\right) \cdot x\)
3. \((4y) \cdot \left(12 - y^2 + 5y\right)\)
4. \(\left(-7x + 2x^2 - 8\right) \cdot 2x\)
5. \(x^2 \cdot \left(2x + x^2 + 3\right)\)
6. \(2a^2 \cdot \left(a^2 - 3a + 2\right)\)

Réponse

1. a · (5a² + 3a + 7) = 5a³ + 3a² + 7a
   
2. (2x – 3x² + 9) · x = 2x² – 3x³ + 9x
   
3. (4y) · (12 – y² + 5y) = –4y³ + 20y² + 48y
   
4. (–7x + 2x² – 8) · 2x = 4x³ – 14x² – 16x
   
5. x² · (2x + x² + 3) = x⁴ + 2x³ + 3x²
   
6. 2a² · (a² – 3a + 2) = 2a⁴ – 6a³ + 4a²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression en appliquant la distributivité :

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1. Développer \(a \cdot \left(5a^2 + 3a + 7\right)\)

Étapes :

• On multiplie \(a\) par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse.
• \(a \cdot 5a^2 = 5a^3\) (on additionne les exposants : \(1+2=3\)).
• \(a \cdot 3a = 3a^2\) (car \(1+1=2\)).
• \(a \cdot 7 = 7a\).

Résultat :

\[ 5a^3 + 3a^2 + 7a \]

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2. Développer \(\left(2x - 3x^2 + 9\right) \cdot x\)

Étapes :

• On applique la distributivité en multipliant \(x\) par chaque terme.
• \(2x \cdot x = 2x^2\) (les exposants s’additionnent : \(1+1=2\)).
• \(-3x^2 \cdot x = -3x^3\) (car \(2+1=3\)).
• \(9 \cdot x = 9x\).

Résultat :

\[ 2x^2 - 3x^3 + 9x \]

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3. Développer \((4y) \cdot \left(12 - y^2 + 5y\right)\)

Étapes :

• Multipliez \(4y\) par chacun des termes dans la parenthèse.
• \(4y \cdot 12 = 48y\).
• \(4y \cdot (-y^2) = -4y^3\) (car \(y \cdot y^2 = y^3\)).
• \(4y \cdot 5y = 20y^2\) (les coefficients se multiplient et \(y \cdot y = y^2\)).

Réorganisation :

On écrit les termes en ordre décroissant de leur exposant :

\[ -4y^3 + 20y^2 + 48y \]

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4. Développer \(\left(-7x + 2x^2 - 8\right) \cdot 2x\)

Étapes :

• Multipliez \(2x\) par chaque terme.
• \(-7x \cdot 2x = -14x^2\).
• \(2x^2 \cdot 2x = 4x^3\) (car \(x^2 \cdot x = x^3\)).
• \(-8 \cdot 2x = -16x\).

Réorganisation :

Mettez le terme de plus haut degré en premier :

\[ 4x^3 - 14x^2 - 16x \]

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5. Développer \(x^2 \cdot \left(2x + x^2 + 3\right)\)

Étapes :

• Appliquez la distributivité en multipliant \(x^2\) par chaque terme.
• \(x^2 \cdot 2x = 2x^3\) (puisque \(2 \cdot 1 = 2\) et \(x^2 \cdot x = x^3\)).
• \(x^2 \cdot x^2 = x^4\).
• \(x^2 \cdot 3 = 3x^2\).

Réorganisation :

On écrit en ordre décroissant des puissances de \(x\) :

\[ x^4 + 2x^3 + 3x^2 \]

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6. Développer \(2a^2 \cdot \left(a^2 - 3a + 2\right)\)

Étapes :

• Multipliez \(2a^2\) par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse.
• \(2a^2 \cdot a^2 = 2a^4\) (on additionne les exposants : \(2+2=4\)).
• \(2a^2 \cdot (-3a) = -6a^3\) (car \(2+1=3\)).
• \(2a^2 \cdot 2 = 4a^2\).

Résultat :

\[ 2a^4 - 6a^3 + 4a^2 \]

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Chaque étape montre clairement comment la distributivité permet de multiplier chaque terme d’une expression par un facteur extérieur. Cela aide à obtenir une expression développée en simplifiant et en ordonnant les termes par degré de la variable.