Exercice 131

Développez chacune des expressions suivantes en appliquant la distributivité :

1. \(4 \cdot (2x + 3y - 5)\)
   
2. \(7 \cdot (8a - 7b + 3c - 4)\)
   
3. \((9x - 31y + 14) \cdot 5\)
   
4. \((15c + 18d + a) \cdot 9\)
   
5. \(12 \cdot (-2a + 3b - 12)\)
   
6. \((-x + 3y - 11) \cdot 17\)

Réponse

1. 8x + 12y − 20
   
2. 56a − 49b + 21c − 28
   
3. 45x − 155y + 70
   
4. 135c + 162d + 9a
   
5. −24a + 36b − 144
   
6. −17x + 51y − 187

Corrigé détaillé

Nous allons utiliser la propriété de distributivité qui nous permet de multiplier chaque terme à l’intérieur d’une parenthèse par le nombre situé devant. La formule générale est
\[ a(b + c + d) = ab + ac + ad. \]

Nous allons développer chacune des expressions pas à pas.

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1) Développer \(4 \cdot (2x + 3y - 5)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité
\[ 4 \cdot (2x + 3y - 5) = 4 \cdot 2x + 4 \cdot 3y + 4 \cdot (-5). \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 4 \cdot 2x = 8x,\quad 4 \cdot 3y = 12y,\quad 4 \cdot (-5) = -20. \]

Résultat :
\[ 8x + 12y - 20. \]

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2) Développer \(7 \cdot (8a - 7b + 3c - 4)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité
\[ 7 \cdot (8a - 7b + 3c - 4) = 7 \cdot 8a + 7 \cdot (-7b) + 7 \cdot 3c + 7 \cdot (-4). \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 7 \cdot 8a = 56a,\quad 7 \cdot (-7b) = -49b,\quad 7 \cdot 3c = 21c,\quad 7 \cdot (-4) = -28. \]

Résultat :
\[ 56a - 49b + 21c - 28. \]

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3) Développer \((9x - 31y + 14) \cdot 5\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité
\[ (9x - 31y + 14) \cdot 5 = 5 \cdot 9x + 5 \cdot (-31y) + 5 \cdot 14. \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 5 \cdot 9x = 45x,\quad 5 \cdot (-31y) = -155y,\quad 5 \cdot 14 = 70. \]

Résultat :
\[ 45x - 155y + 70. \]

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4) Développer \((15c + 18d + a) \cdot 9\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité
\[ (15c + 18d + a) \cdot 9 = 9 \cdot 15c + 9 \cdot 18d + 9 \cdot a. \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 9 \cdot 15c = 135c,\quad 9 \cdot 18d = 162d,\quad 9 \cdot a = 9a. \]

Résultat :
\[ 135c + 162d + 9a. \]

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5) Développer \(12 \cdot (-2a + 3b - 12)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité
\[ 12 \cdot (-2a + 3b - 12) = 12 \cdot (-2a) + 12 \cdot 3b + 12 \cdot (-12). \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 12 \cdot (-2a) = -24a,\quad 12 \cdot 3b = 36b,\quad 12 \cdot (-12) = -144. \]

Résultat :
\[ -24a + 36b - 144. \]

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6) Développer \((-x + 3y - 11) \cdot 17\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité
\[ (-x + 3y - 11) \cdot 17 = 17 \cdot (-x) + 17 \cdot 3y + 17 \cdot (-11). \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications
\[ 17 \cdot (-x) = -17x,\quad 17 \cdot 3y = 51y,\quad 17 \cdot (-11) = -187. \]

Résultat :
\[ -17x + 51y - 187. \]

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Récapitulatif des résultats

1. \(4 \cdot (2x + 3y - 5) = 8x + 12y - 20\)
   
2. \(7 \cdot (8a - 7b + 3c - 4) = 56a - 49b + 21c - 28\)
   
3. \((9x - 31y + 14) \cdot 5 = 45x - 155y + 70\)
   
4. \((15c + 18d + a) \cdot 9 = 135c + 162d + 9a\)
   
5. \(12 \cdot (-2a + 3b - 12) = -24a + 36b - 144\)
   
6. \((-x + 3y - 11) \cdot 17 = -17x + 51y - 187\)

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Ces développements montrent comment appliquer la distributivité pour multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par le nombre situé à l’extérieur. Chaque étape consiste à multiplier le facteur commun par chacun des termes, en respectant les signes.