Exercice : Développement de produits
Développez chacun des produits suivants en utilisant la distributivité :
Voici les réponses développées : 1. x²(2x + x²) = 2x³ + x⁴
2. (3a – 9a²)a² = 3a³ – 9a⁴
3. (2x² – 5)3x² = 6x⁴ – 15x²
4. 5x²(8x – 9) = 40x³ – 45x²
5. 7a³(3a³ + 2a) = 21a⁶ + 14a⁴
6. 3x(5x² – 3x) = 15x³ – 9x²
Voici la correction détaillée pour développer chacun des produits en utilisant la distributivité.
Étape 1 : Appliquer la distributivité
On multiplie \(x^2\) par chacun des termes à l’intérieur des parenthèses : \[ x^2 \cdot (2x + x^2) = x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot x^2 \]
Étape 2 : Effectuer chaque multiplication
Pour \(x^2 \cdot 2x\) : \[ x^2 \cdot 2x = 2 \cdot x^2 \cdot x = 2x^{2+1} = 2x^3 \]
Pour \(x^2 \cdot x^2\) : \[ x^2 \cdot x^2 = x^{2+2} = x^4 \]
Résultat final : \[ 2x^3 + x^4 \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
On multiplie \(a^2\) par chacun des termes dans la parenthèse : \[ (3a - 9a^2) \cdot a^2 = 3a \cdot a^2 - 9a^2 \cdot a^2 \]
Étape 2 : Effectuer chaque multiplication
Pour \(3a \cdot a^2\) : \[ 3a \cdot a^2 = 3a^{1+2} = 3a^3 \]
Pour \(9a^2 \cdot a^2\) : \[ 9a^2 \cdot a^2 = 9a^{2+2} = 9a^4 \]
Résultat final : \[ 3a^3 - 9a^4 \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
On multiplie \(3x^2\) par chacun des termes à l’intérieur des parenthèses : \[ (2x^2 - 5) \cdot 3x^2 = 2x^2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 3x^2 \]
Étape 2 : Effectuer chaque multiplication
Pour \(2x^2 \cdot 3x^2\) : \[ 2x^2 \cdot 3x^2 = 6x^{2+2} = 6x^4 \]
Pour \(5 \cdot 3x^2\) : \[ 5 \cdot 3x^2 = 15x^2 \]
Résultat final : \[ 6x^4 - 15x^2 \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
On multiplie \(5x^2\) par chaque terme de la parenthèse : \[ 5x^2 \cdot (8x - 9) = 5x^2 \cdot 8x - 5x^2 \cdot 9 \]
Étape 2 : Effectuer chaque multiplication
Pour \(5x^2 \cdot 8x\) : \[ 5x^2 \cdot 8x = 40x^{2+1} = 40x^3 \]
Pour \(5x^2 \cdot 9\) : \[ 5x^2 \cdot 9 = 45x^2 \]
Résultat final : \[ 40x^3 - 45x^2 \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
On multiplie \(7a^3\) par chaque terme de la parenthèse : \[ 7a^3 \cdot (3a^3 + 2a) = 7a^3 \cdot 3a^3 + 7a^3 \cdot 2a \]
Étape 2 : Effectuer chaque multiplication
Pour \(7a^3 \cdot 3a^3\) : \[ 7a^3 \cdot 3a^3 = 21a^{3+3} = 21a^6 \]
Pour \(7a^3 \cdot 2a\) : \[ 7a^3 \cdot 2a = 14a^{3+1} = 14a^4 \]
Résultat final : \[ 21a^6 + 14a^4 \]
Étape 1 : Appliquer la distributivité
On multiplie \(3x\) par chaque terme dans la parenthèse : \[ 3x \cdot (5x^2 - 3x) = 3x \cdot 5x^2 - 3x \cdot 3x \]
Étape 2 : Effectuer chaque multiplication
Pour \(3x \cdot 5x^2\) : \[ 3x \cdot 5x^2 = 15x^{1+2} = 15x^3 \]
Pour \(3x \cdot 3x\) : \[ 3x \cdot 3x = 9x^{1+1} = 9x^2 \]
Résultat final : \[ 15x^3 - 9x^2 \]
Chaque étape utilise la distributivité et la propriété des exposants (ajout des exposants lors de la multiplication de puissances de même base) pour simplifier les expressions. Ces développements sont très utiles pour simplifier les expressions algébriques et préparer des équations à résoudre ensuite.