Exercice 128

Utilisez la distributivité pour développer chacun des produits suivants :

1. \(a \cdot (3a + 6)\)
2. \(x \cdot (5x^2 + 2x)\)
3. \(b \cdot (3b^2 + 5b)\)
4. \((a^2 + 2a) \cdot a\)
5. \((7b^2 - 6b) \cdot b\)

Réponse

Réponses :
1) a·(3a + 6) = 3a² + 6a
2) x·(5x² + 2x) = 5x³ + 2x²
3) b·(3b² + 5b) = 3b³ + 5b²
4) (a² + 2a)·a = a³ + 2a²
5) (7b² – 6b)·b = 7b³ – 6b²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée pour chaque produit en utilisant la distributivité :

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1) Développer \(a \cdot (3a + 6)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On multiplie \(a\) par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse :

\[ a \cdot (3a + 6) = a \cdot 3a + a \cdot 6 \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications

• \(a \cdot 3a = 3a^2\) (car \(a \cdot a = a^2\))
• \(a \cdot 6 = 6a\)

Résultat final :

\[ 3a^2 + 6a \]

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2) Développer \(x \cdot (5x^2 + 2x)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

Multiplions \(x\) par chaque terme :

\[ x \cdot (5x^2 + 2x) = x \cdot 5x^2 + x \cdot 2x \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications

• \(x \cdot 5x^2 = 5x^3\) (car \(x \cdot x^2 = x^3\))
• \(x \cdot 2x = 2x^2\) (car \(x \cdot x = x^2\))

Résultat final :

\[ 5x^3 + 2x^2 \]

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3) Développer \(b \cdot (3b^2 + 5b)\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

On procède comme précédemment :

\[ b \cdot (3b^2 + 5b) = b \cdot 3b^2 + b \cdot 5b \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications

• \(b \cdot 3b^2 = 3b^3\)
• \(b \cdot 5b = 5b^2\)

Résultat final :

\[ 3b^3 + 5b^2 \]

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4) Développer \((a^2 + 2a) \cdot a\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

Multiplions \(a\) par chaque terme de \((a^2 + 2a)\) :

\[ (a^2 + 2a) \cdot a = a^2 \cdot a + 2a \cdot a \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications

• \(a^2 \cdot a = a^3\)
• \(2a \cdot a = 2a^2\)

Résultat final :

\[ a^3 + 2a^2 \]

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5) Développer \((7b^2 - 6b) \cdot b\)

Étape 1 : Appliquer la distributivité

Multiplions \(b\) par chaque terme :

\[ (7b^2 - 6b) \cdot b = 7b^2 \cdot b - 6b \cdot b \]

Étape 2 : Effectuer les multiplications

• \(7b^2 \cdot b = 7b^3\)
• \(6b \cdot b = 6b^2\)

Résultat final :

\[ 7b^3 - 6b^2 \]

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Récapitulatif des résultats

1. \(a \cdot (3a + 6) = 3a^2 + 6a\)
   
2. \(x \cdot (5x^2 + 2x) = 5x^3 + 2x^2\)
   
3. \(b \cdot (3b^2 + 5b) = 3b^3 + 5b^2\)
   
4. \((a^2 + 2a) \cdot a = a^3 + 2a^2\)
   
5. \((7b^2 - 6b) \cdot b = 7b^3 - 6b^2\)

Chaque étape repose sur la propriété distributive, qui permet de multiplier un terme extérieur par chaque terme à l’intérieur de la parenthèse. Cette méthode est essentielle pour développer et simplifier les expressions algébriques.