Exercice 127

Exercice

Développez chacun des produits suivants en appliquant la distributivité :

1. \(a \cdot (a+3)\)

2. \(a \cdot (a^2+1)\)

3. \((x^2+4) \cdot x\)

4. \(b \cdot (b+b^2)\)

5. \(a \cdot (a^2+a)\)

Réponse

1. a(a+3) = a² + 3a
   
2. a(a²+1) = a³ + a
   
3. (x²+4)x = x³ + 4x
   
4. b(b+b²) = b² + b³
   
5. a(a²+a) = a³ + a²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque produit, en appliquant la propriété distributive.

---

1) \(a \cdot (a+3)\)

Étape 1 :
On applique la distributivité en multipliant \(a\) par chacun des termes dans la parenthèse.

\[ a \cdot (a+3) = a \cdot a + a \cdot 3 \]

Étape 2 :
Effectuez les multiplications individuelles :
\[ a \cdot a = a^2 \quad \text{et} \quad a \cdot 3 = 3a \]

Résultat :
\[ a \cdot (a+3) = a^2 + 3a \]

---

2) \(a \cdot (a^2+1)\)

Étape 1 :
Utilisons la distributivité :
\[ a \cdot (a^2+1) = a \cdot a^2 + a \cdot 1 \]

Étape 2 :
Calculez chaque produit :
- \(a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3\) (car lorsque l’on multiplie des puissances de la même base, on additionne les exposants)
- \(a \cdot 1 = a\)

Résultat :
\[ a \cdot (a^2+1) = a^3 + a \]

---

3) \((x^2+4) \cdot x\)

Étape 1 :
Distribuer \(x\) à chaque terme dans la parenthèse :

\[ (x^2+4) \cdot x = x^2 \cdot x + 4 \cdot x \]

Étape 2 :
Effectuer les multiplications :
- \(x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3\)
- \(4 \cdot x = 4x\)

Résultat :
\[ (x^2+4) \cdot x = x^3 + 4x \]

---

4) \(b \cdot (b+b^2)\)

Étape 1 :
Appliquons la propriété distributive :

\[ b \cdot (b+b^2) = b \cdot b + b \cdot b^2 \]

Étape 2 :
- \(b \cdot b = b^2\)
- \(b \cdot b^2 = b^{1+2} = b^3\)

Résultat :
\[ b \cdot (b+b^2) = b^2 + b^3 \]

---

5) \(a \cdot (a^2+a)\)

Étape 1 :
Utilisons la distributivité :

\[ a \cdot (a^2+a) = a \cdot a^2 + a \cdot a \]

Étape 2 :
Calculons chaque multiplication :
- \(a \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3\)
- \(a \cdot a = a^2\)

Résultat :
\[ a \cdot (a^2+a) = a^3 + a^2 \]

---

Récapitulatif des résultats

1. \(\displaystyle a \cdot (a+3) = a^2 + 3a\)
   
2. \(\displaystyle a \cdot (a^2+1) = a^3 + a\)
   
3. \(\displaystyle (x^2+4) \cdot x = x^3 + 4x\)
   
4. \(\displaystyle b \cdot (b+b^2) = b^2 + b^3\)
   
5. \(\displaystyle a \cdot (a^2+a) = a^3 + a^2\)

---

Ces étapes montrent clairement comment utiliser la distributivité pour développer chacun des produits. N’hésitez pas à vérifier chaque multiplication pour vous assurer que les propriétés des exposants sont bien appliquées !