Exercice 125

Développer chacun des produits suivants en utilisant la distributivité :

1. \(2 \cdot (a+b)\)
   
2. \(3 \cdot (a+x)\)
   
3. \(5 \cdot (x-y)\)
   
4. \((a+4) \cdot 2\)
   
5. \((x-9) \cdot 15\)

Réponse

1. 2(a+b) = 2a + 2b
   
2. 3(a+x) = 3a + 3x
   
3. 5(x–y) = 5x – 5y
   
4. (a+4)·2 = 2a + 8
   
5. (x–9)·15 = 15x – 135

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chacun des développements :

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1) Développer \(2 \cdot (a+b)\)

On utilise la propriété distributive qui nous dit que : \[ k \cdot (x+y) = k \cdot x + k \cdot y \] Ici, \(k=2\), \(x=a\) et \(y=b\). Ainsi : \[ 2 \cdot (a+b) = 2a + 2b \]

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2) Développer \(3 \cdot (a+x)\)

De même, en appliquant la distributivité avec \(k=3\), \(x=a\) et \(y=x\), nous avons : \[ 3 \cdot (a+x) = 3a + 3x \]

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3) Développer \(5 \cdot (x-y)\)

Ici, il s’agit d’une différence. On applique la distributivité en prenant soin d’inclure le signe négatif : \[ 5 \cdot (x-y) = 5x - 5y \] Il suffit de multiplier \(x\) et \(-y\) par \(5\).

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4) Développer \((a+4) \cdot 2\)

L’ordre des facteurs ne change pas le résultat, donc on peut appliquer la même méthode : \[ (a+4) \cdot 2 = 2 \cdot a + 2 \cdot 4 = 2a + 8 \]

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5) Développer \((x-9) \cdot 15\)

On utilise la distributivité en multipliant chaque terme du groupe par \(15\) : \[ (x-9) \cdot 15 = 15 \cdot x - 15 \cdot 9 = 15x - 135 \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(2 \cdot (a+b) = 2a + 2b\)
   
2. \(3 \cdot (a+x) = 3a + 3x\)
   
3. \(5 \cdot (x-y) = 5x - 5y\)
   
4. \((a+4) \cdot 2 = 2a + 8\)
   
5. \((x-9) \cdot 15 = 15x - 135\)

Chaque étape repose sur l’application de la propriété distributive, qui permet de multiplier chaque terme à l’intérieur d’une parenthèse par le facteur extérieur.

Cette méthode est très pratique pour simplifier des expressions algébriques et pour préparer d’autres manipulations de formules.