Exercice 123

Exercice

Calculez les expressions suivantes :

1. \((2a) \cdot \left(3a^2\right)\)
2. \(6x \cdot (4x) \cdot x\)
3. \(a \cdot 3a \cdot 5a\)
4. \(2y \cdot 4y^2 \cdot y\)
5. \(x \cdot 7x^3 \cdot x^2 \cdot 5\)

Réponse

Réponses : 1. (2a)(3a²) = 6a³
2. 6x · (4x) · x = 24x³
3. a · 3a · 5a = 15a³
4. 2y · 4y² · y = 8y⁴
5. x · 7x³ · x² · 5 = 35x⁶

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

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1. Calcul de \((2a) \cdot \left(3a^2\right)\)

Étapes :

1. Multiplication des coefficients numériques :
   \(2 \times 3 = 6\).

2. Multiplication des puissances de \(a\) :
   \(a\) peut s’écrire \(a^1\).
   On utilise la propriété des exposants :
   \[ a^1 \cdot a^2 = a^{1+2} = a^3. \]

3. Regroupement du résultat :
   On obtient :
   \[ (2a) \cdot (3a^2) = 6a^3. \]

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2. Calcul de \(6x \cdot (4x) \cdot x\)

Étapes :

1. Multiplication des coefficients numériques :
   \(6 \times 4 \times 1 = 24\) (le coefficient de \(x\) dans \(x\) est \(1\)).

2. Multiplication des puissances de \(x\) :
   \(x \cdot x \cdot x = x^{1+1+1} = x^3.\)

3. Regroupement du résultat :
   Ainsi,
   \[ 6x \cdot 4x \cdot x = 24 x^3. \]

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3. Calcul de \(a \cdot 3a \cdot 5a\)

Étapes :

1. Multiplication des coefficients numériques :
   On a \(1\) pour \(a\) (car \(a\) équivaut à \(1a\)), puis :
   \(1 \times 3 \times 5 = 15\).

2. Multiplication des puissances de \(a\) :
   \(a \cdot a \cdot a = a^{1+1+1} = a^3.\)

3. Regroupement du résultat :
   Finalement,
   \[ a \cdot 3a \cdot 5a = 15a^3. \]

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4. Calcul de \(2y \cdot 4y^2 \cdot y\)

Étapes :

1. Multiplication des coefficients numériques :
   \(2 \times 4 \times 1 = 8\).

2. Multiplication des puissances de \(y\) :
   \(y\) s’écrit \(y^1\), donc :
   \[ y^1 \cdot y^2 \cdot y^1 = y^{1+2+1} = y^4. \]

3. Regroupement du résultat :
   Ainsi,
   \[ 2y \cdot 4y^2 \cdot y = 8y^4. \]

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5. Calcul de \(x \cdot 7x^3 \cdot x^2 \cdot 5\)

Étapes :

1. Multiplication des coefficients numériques :
   Le coefficient de \(x\) est \(1\) dans le premier terme, puis on multiplie :
   \(1 \times 7 \times 1 \times 5 = 35.\)

2. Multiplication des puissances de \(x\) :
   Pour la variable \(x\), on additionne les exposants :
   \[ x^1 \cdot x^3 \cdot x^2 = x^{1+3+2} = x^6. \]

3. Regroupement du résultat :
   Finalement,
   \[ x \cdot 7x^3 \cdot x^2 \cdot 5 = 35 x^6. \]

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Récapitulatif des réponses

1. \(\quad (2a)(3a^2) = 6a^3\)
2. \(\quad 6x \cdot (4x) \cdot x = 24x^3\)
3. \(\quad a \cdot 3a \cdot 5a = 15a^3\)
4. \(\quad 2y \cdot 4y^2 \cdot y = 8y^4\)
5. \(\quad x \cdot 7x^3 \cdot x^2 \cdot 5 = 35x^6\)

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Chaque étape a été expliquée en décomposant d’abord les coefficients numériques puis en regroupant les puissances des variables en utilisant la règle \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Cette méthode vous permettra d’aborder de manière claire et structurée ce type d’exercices.