Exercice 122

Exercice : Calculs de produits de monômes

Calculer les expressions suivantes :

1. \((2a) \cdot (3a)\)
   
2. \((4x) \cdot (5x)\)
   
3. \((8y) \cdot (6y)\)
   
4. \(3x \cdot (15x)\)
   
5. \(3 \cdot (15x) \cdot x\)

Réponse

Réponses : 1) 6a²
2) 20x²
3) 48y²
4) 45x²
5) 45x²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

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Exercice : Calculs de produits de monômes

Nous allons calculer chaque expression en multipliant séparément les nombres (coefficients) et les lettres (variables). Quand on multiplie deux monômes, on multiplie :

• Les coefficients entre eux.
• Les variables entre elles en ajoutant leurs exposants (par exemple, \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)).

Expliquons chaque calcul :

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1) Calcul de \((2a) \cdot (3a)\)

• Étape 1 : Multiplier les coefficients
  \(2 \cdot 3 = 6\)

• Étape 2 : Multiplier les variables
  \(a \cdot a = a^{1+1} = a^2\)

• Résultat final :
  \[ (2a) \cdot (3a) = 6a^2 \]

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2) Calcul de \((4x) \cdot (5x)\)

• Étape 1 : Multiplier les coefficients
  \(4 \cdot 5 = 20\)

• Étape 2 : Multiplier les variables
  \(x \cdot x = x^{1+1} = x^2\)

• Résultat final :
  \[ (4x) \cdot (5x) = 20x^2 \]

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3) Calcul de \((8y) \cdot (6y)\)

• Étape 1 : Multiplier les coefficients
  \(8 \cdot 6 = 48\)

• Étape 2 : Multiplier les variables
  \(y \cdot y = y^{1+1} = y^2\)

• Résultat final :
  \[ (8y) \cdot (6y) = 48y^2 \]

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4) Calcul de \(3x \cdot (15x)\)

• Étape 1 : Multiplier les coefficients
  \(3 \cdot 15 = 45\)

• Étape 2 : Multiplier les variables
  \(x \cdot x = x^{1+1} = x^2\)

• Résultat final :
  \[ 3x \cdot (15x) = 45x^2 \]

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5) Calcul de \(3 \cdot (15x) \cdot x\)

Les multiplications peuvent être regroupées de la même manière :

• Étape 1 : Multiplier les coefficients
  \(3 \cdot 15 = 45\)

• Étape 2 : Multiplier les variables
  D’abord, \(15x\) contient un \(x\) puis on multiplie par un autre \(x\). Ainsi :
  \(x \cdot x = x^{1+1} = x^2\)

• Résultat final :
  \[ 3 \cdot (15x) \cdot x = 45x^2 \]

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Résumé des réponses :

1. \((2a) \cdot (3a) = 6a^2\)
   
2. \((4x) \cdot (5x) = 20x^2\)
   
3. \((8y) \cdot (6y) = 48y^2\)
   
4. \(3x \cdot (15x) = 45x^2\)
   
5. \(3 \cdot (15x) \cdot x = 45x^2\)

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Chaque étape consiste à :

• Multiplier les nombres pour obtenir le coefficient final.
• Appliquer la règle de multiplication des variables en additionnant les exposants.

Cette méthode vous permet de décomposer et de comprendre chaque partie du calcul.