Exercice 121

Exercice :

Calculez les expressions suivantes :

1. \(a \cdot a\)
   
2. \(a \cdot (3a)\)
   
3. \(b \cdot (5b)\)
   
4. \((4x) \cdot x\)
   
5. \(y \cdot (7y)\)

Réponse

Réponses :

1. a · a = a²
   
2. a · (3a) = 3a²
   
3. b · (5b) = 5b²
   
4. (4x) · x = 4x²
   
5. y · (7y) = 7y²

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice, avec une explication pas à pas pour chaque expression :

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1) Calcul de \(a \cdot a\)

Nous multiplions \(a\) par \(a\).
Étape 1 : On utilise la règle sur les puissances (pour un même nombre, multiplier revient à ajouter les exposants) : \[ a \cdot a = a^1 \cdot a^1 = a^{1+1} = a^2 \] Résultat : \(a^2\)

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2) Calcul de \(a \cdot (3a)\)

Ici, l’expression contient une multiplication d’un nombre et d’un produit contenant le même symbole \(a\).
Étape 1 : Écrire l’expression sous forme de produit de coefficients et de variables :
\[ a \cdot (3a) = 3 \cdot (a \cdot a) \] Étape 2 : Multiplier \(a\) par \(a\) :
\[ a \cdot a = a^2 \] Étape 3 : Multiplier par le coefficient 3 :
\[ 3 \cdot a^2 = 3a^2 \] Résultat : \(3a^2\)

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3) Calcul de \(b \cdot (5b)\)

De manière analogue à la deuxième expression, on procède de la même façon.
Étape 1 : On écrit l’expression comme :
\[ b \cdot (5b) = 5 \cdot (b \cdot b) \] Étape 2 : Puisque \(b \cdot b = b^2\), on a :
\[ 5 \cdot b^2 = 5b^2 \] Résultat : \(5b^2\)

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4) Calcul de \((4x) \cdot x\)

Pour cette expression, on multiplie \(4x\) par \(x\).
Étape 1 : Écrire le produit en séparant le coefficient et la variable :
\[ (4x) \cdot x = 4 \cdot x \cdot x \] Étape 2 : Multiplier \(x \cdot x = x^2\) :
\[ 4 \cdot x^2 = 4x^2 \] Résultat : \(4x^2\)

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5) Calcul de \(y \cdot (7y)\)

Ici, on procède de la même manière que pour les expressions précédentes.
Étape 1 : Écrire l’expression comme :
\[ y \cdot (7y) = 7 \cdot (y \cdot y) \] Étape 2 : Comme \(y \cdot y = y^2\), il en résulte :
\[ 7 \cdot y^2 = 7y^2 \] Résultat : \(7y^2\)

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Conclusion

Les réponses finales aux expressions sont :

1. \(a \cdot a = a^2\)
   
2. \(a \cdot (3a) = 3a^2\)
   
3. \(b \cdot (5b) = 5b^2\)
   
4. \((4x) \cdot x = 4x^2\)
   
5. \(y \cdot (7y) = 7y^2\)

Chaque étape consiste à multiplier les coefficients et à appliquer la règle des puissances pour les variables. Cette méthode est très utile pour simplifier rapidement des expressions algébriques.